资源描述：
《曲率和挠率张量若干性质的证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第卷第期鑫应大学学报自然科学年月曲率和挠率张量若干性质的证明康剑灵,广东梅嘉应大学数学系州,给出了〔摘要」采用指标运茸曲率张量和挠量张量的主要性质的证明〔关键词〕联络曲率张童挠率张童中图分类号文献标识码〕文章编号一一一定义及基本引理设是流形上的维实矢量丛,是矢量丛在流形上的光滑截面的集合,那么,也是实矢量空间定义设是实矢量丛上的联络,若是流形上光滑的切矢量场,〔,命,其中,是指和’间的配合,则是的截面,称为截面沿切矢量场的绝对微商,,,联络是作用在的截面上的算子它具有局部性在局部上联络具由一组一次微分式给出的设任,取点的坐
2、标域,簇镇是上的局部标架场,对应联络方阵为。一试,任取两个切矢量场任,则联络在上的曲率方阵一呈可定义从纤’,维到自身的线性变换‘,,,⋯,。,定义设矢量丛在上的局部标架场一可表示成。,艺犷入任·,。,则,呈八称,是联络的曲率算子·,’〕,一型,,由于已是线性空间汇上的张量因此与局部坐标选取无关若,是光滑流形上的两个光滑切矢量场,那么,是上的线性算子,对任意的任及任都有,,定义切丛是维光滑流形的微分结构,本身所决定的维矢量丛,切丛上的联络称为仿射联络·收稿日期〕一一【作者简介」康剑灵一,女,江西赣州人,嘉应大学数学系讲师,西
3、北工业大学自动控制系在读博士生一一©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net‘,,任取流形的一坐标域其自然基底簇蕊构成在上的局头七」部标架场,可设叫⑧一盆②其中是,局部坐标下的联络系数并不适合张量的变换规律定义仿射联络的曲率张量、‘’一‘⑧⑧②易其中扬一一、一、氏券黔,,,由于盆适合型张量的分量变换规律因此曲率张量不依赖于局部坐标的选取七,定义记一‘一到则‘一‘⑧②易是仿射联络的挠
4、率张量,,,,若是上任意两个切矢量场那么也是上的切矢量场局部表示为,’一‘,彝,型,,一,,,由于挠率张量是张量场因此有并且就是切丛上由和所决定的张量变换下面给出证明中所需的基本引理引理〕设。是光滑流形上的一次微分式,和是上的光滑矢量场,则,。,。一,。一仁,,。·〕,,,任,引理沙设是流形上的光滑切矢量场叹则,·一··仁,〕上述引理中,〕为括号积主要性质的证明我们采,用上述记号和和式约定进行下述性质的证明性质设,是流形上任意两个光滑切矢量场,则,,一二,一、一〕证明因为绝对微商和曲率算子均为局部算子,所以我们只需考虑式两
5、边分别在局部截面上的作用即可设截面〔的局部表示为一。,那么,,,入’。,入“⑧。久“。,入。⑧。久“。三⑧。,入“入‘试。久“入日,邺。二,二,“,。,“,。入入。苏入入,。苏,“。“。日,。月,。,。入入入⑧。苏久娜犷嵋“。,。,。,。,,入入日嵋入日嵋入日邺诚⑧“。,。,。,。,,。入入,啡入。苏入日。言入,。昌。了⑧。,,,,,。入入娜入娜犷嵋护端衅同理可得一一©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:
6、//www.cnki.net,,,,,。入,入,嵋入,碗护崛护嵋》衅》由引理可知,,,,。一〔〕护」邺听一娜叫》,。,一砂,。一二,若亦即有,,一,一二,玖证毕从性质,我们可以看,,到对切矢量场求两次绝对微商时交换微商的次序所产生的差异可由曲率张量来度量,,实际上我们也可以把曲率算子用曲率张量表示出来」,,是一个型张量场我们可以将它看成从””到”的映射,,,一声一「,性质设是流形上任意两个切矢量场则」,一】,证明设切矢量场的局部表示是一彝易则’一‘,一⑧讨⑧一一。、一。易易彝翼易彝、几彭易由此可得,、、、,,‘。“奥器念一
7、影易且烈几宾曰‘同理」』一一器易由引理可得,〕,一仁‘,。。厂。一一,〕人丁三丁下飞叮一飞一不,一不一下」易共一曰,一刁日一一共,奥〕刁,·,‘“月一’‘’。、。一一仁〕““一易易一了二下一厂一不刁日甲,示,‘一丁一不一气,少证毕无挠的仿射联络总是存在的,」,若设联络的系数为人,令、瓦一酬十‘’告易见式关于下指标是对称的,并且在局部坐标变换下适合联络系数户、的坐标变换公式,所以一一©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserve
8、d.http://www.cnki.net氏就是某个无挠联络乃的系数性质任,意一个联络都可分解成它的挠率张量的倍数与一个无挠联络的和即对流形,,上任意切矢量场均有,、叙不,丁气十乙乙。爪‘,二二二一证明设切矢量场的局部表示为一了不,纵刁、霎一、易以及,‘,。‘。,,一煞、冬成李二万工一、月尸下门一不一’
