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《给定曲率和挠率为常数的空间曲线方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第8卷第4期西安文理学院学报(自然科学版)Vol.8No.42005年10月JournalofXi.anUniversityofArts&Science(NatSciEd)Oct.2005文章编号:1008-5564(2005)02-0024-03给定曲率和挠率为常数的空间曲线方程闫焱,惠存阳(西安文理学院数学系,陕西西安710065)摘要:通过解向量微分方程组的特解的方法,给出了曲率函数和挠率函数为常数的空间曲线的方程,并通过分析说明具有该特征的曲线就是圆柱螺线,在此基础上进一步探讨了曲率和挠率为非常数但它们的比值为常数的空间曲线的方程.关键词:曲率;挠率;空间曲线中图分类号:Q1
2、87.1文献标识码:A1给定曲率和挠率为常数的空间曲线方程文献[1]给出了如下的定理:空间曲线论基本定理:给定闭区间[s0,s1]上的两个连续函数U(s)和D(s),且U(s)大于零,则在空间除了位置差别以外,惟一地存在着一条空间曲线,使得参数s是曲线的自然参数,并且U(s)和D(s)分别是曲线的曲率和挠率.即曲线的自然方程为k=U(s),S=D(s).设U(s)=a,D(s)=b(a、b为常数,a大于零),求以a为曲率,b为挠率的空间曲线方程.解:设该空间曲线C的方程为:r=r(s),用伏雷内(Frenet)公式建立微分方程组#A=aB#dr(s)B=-aA+bC,其中A=A(s)
3、,B=B(s),C=C(s)是C的三个基本向量,且A(s)=.对ds#C=-bB方程组的第二个方程两边关于s求导并应用Frenet公式,得&##2222B=-aA(s)+bC(s)=-aB-bB=-(a+b)B(1)这是一个关于向量B的微分方程,令B(s)={x(s),y(s),z(s)},代入(1)则有&22&22&22x(s)=-(a+b)x(s),y(s)=-(a+b)y(s),z(s)=-(a+b)z(s)给出初值.当s=0时,x(s)=1,y(s)=0,z(s)=0,我们先看方程&22&22x(s)=-(a+b)x(s),即x(s)+(a+b)x(s)=0这是一个关于实函数
4、x(s)的二阶常系数线性奇次微分方程.2222222它的特征方程为K+(a+b)=0,特征根为K1=a+bi,K2=-a+bi,因此通解为2222x(s)=c1cosa+bs+c2sina+bs2222将初值s=0时,x(s)=1代入有x(s)=cosa+bs+c2sina+bs,令c2=0,有22x(s)=cosa+bs收稿日期:2005-03-02作者简介:闫焱(1965)),女,陕西礼泉人,西安文理学院数学系讲师,硕士.第4期闫焱,等:给定曲率和挠率为常数的空间曲线方程252222同理y(s)=c2sina+bs,令c2=1,有y(s)=sina+bs.同理取z(s)=0(这里
5、解不惟一,2222我们取一组比较简单的特解).即B(s)={cosa+bs,sina+bs,0}是微分方程(1)的一个特解.#2222又因为A(s)=kB=aB=a{cosa+bs,sina+bs,0}所以2222A(s)=a{Qcosa+bsds,Qsina+bsds,Q0ds}=a22a22b{sina+bs,(-cosa+bs),}222222a+ba+ba+bb(为了保证A(s)是单位向量,取积分0ds=)Q22a+bdr由于=A(s),因此上式两边积分可以得到dsa22a22br(s)={sina+bsds,(-cosa+b)ds,ds}=Qa2+b2Qa2+b2Qa2+b
6、2-a22-a22b{22cosa+bs,22sina+bs,s}(2)a+ba+ba2+b2&2222&由(2)知,r(s)={acosa+bs,asina+bs,0}.因此,曲线(2)的曲率k=År(s)Å=a.又#&,(r(s),r(s),r(s))=a22-a22asina+bscosa+bs222222a+ba+ba+b2=ab2222acosa+bsasina+bs022222222-aa+bsina+bsaa+bcosa+bs0#&,2(r(s),r(s),r(s))ab那么,曲线(2)的挠率S=&2=2=b,这说明r(s)就是我们所求的空间曲线.År(s)Åa2具有上
7、述特征的曲线形状的进一步探讨我们知道,圆柱螺线的曲率和挠率都是常数,那么反过来曲率和挠率都是常数的空间曲线r(s)是不是圆柱螺线呢?2-a222-a222a由方程(2)知,(22cosa+bs)+(22sina+bs)=222.这说明给定曲率a+ba+b(a+b)a为常数a和挠率为常数b的空间曲线r(s)在一个半径为22的圆柱面上.a+b1221221因为它的切向量A(s)=a{22sina+bs,a2+b2(-cosa+bs),22},用a+ba+b12
