曲率挠率frenet公式与标架

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1、曲率、挠率Frenet标架与Frenet公式一．挠率分析从法向量B(s)对弧长s求导所得向量B(s)的行为由于从法向量是单位向量场，易知B(s)B(s)；而由B(s)=T(s)N(s)对弧长s求导得B=TNTN=TNT．于是，B∥N．把B(s)在Frenet标架{r(s);T(s),N(s),B(s)}下的分量抽象出来，将找到所需要的几何量．定义1对于无逗留点的曲线C，称BN为曲线的挠率函数，其中B为从法向量对弧长的导数；当挠率非零时，称其倒数为挠率半径．可证（

2、习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．一．挠率B∥N．对于无逗留点的曲线C，称BN为曲线的挠率函数，其中B为从法向量对弧长的导数．计算：按挠率定义和Frenet标架的单位正交右手性质，(4.1)B(s)N，(4.2)(TN)N(TN)N(T,N,N)一．挠率定理1对曲率非零的曲线C而言，C为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零．证明由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”，而这由B(s)N，即可得证．□

3、定理2设无逗留点的弧长s参数化曲线C:rr(s)与C*:r*r*(s)合同，则两条曲线在对应点r(s)与r*(s)处的挠率(s)与*(s)总相等．证明与上一节定理2的证明相同，对曲线C*各相应量的记号总打星号表示，并设矩阵ASO(3)和位置向量OP(b1,b2,b3)，使一．挠率定理2设无逗留点的弧长s参数化曲线C:rr(s)与C*:r*r*(s)合同，则两条曲线在对应点r(s)与r*(s)处的挠率(s)与*(s)总相等．证明与上一节定理2的证明相同，对曲线C*各相应量的记号总打星号

4、表示，并设矩阵ASO(3)和位置向量OP(b1,b2,b3)，使r=OP+r*A，T=T*A，T=T*A，*．将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有N=N*A，N=N*A．故由(4.2)式便知有(T,N,N)(T*A,N*A,N*A)(T*,N*,N*)A(T*,N*,N*)*．□一．挠率定理1对曲率非零的曲线C而言，C为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零．定理2设无逗留点的弧长s参数化曲线C:rr(s)与C*:r*r*(s)合同，则两条曲线在对应点

5、r(s)与r*(s)处的挠率(s)与*(s)总相等．定理意义：挠率确实是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量，因而又可称之为曲线的第二曲率；又由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表示了曲线的扭曲程度．挠率的计算在一般参数下，挠率的用位置向量表示的计算公式可以利用复合求导而由弧长参数下的计算公式(4.2)式和(3.9)式推出（参见习题4），也可以从(3.8)式和(3.9)式导出例1对常数a>0和常数b，计算曲线r(t)=(acost,asint,bt)的挠率.注意解法有多种：可先作弧长参数化，再

6、用定义式计算；或先确定参数与弧长参数的关系，再利用复合求导以及定义式计算；或代入公式(4.3)计算．这里采用第二种算法，按上节例5接着计算．二．Frenet公式按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线r，其Frenet标架关于曲线弧长s的运动公式（作微小位移时的变换公式）现在已经可以确定为这组公式称为曲线论基本方程，它包含了曲线几何的最基本信息：弧长，曲率，挠率．——在本章的后续内容中，可以进一步体会出这组公式的重要含义．二．Frenet公式曲线论基本方程包含了曲线几何的最基本信息：弧长，曲率，挠率．

7、鉴于其重要地位，称为Frenet-Serret公式，或简称为Frenet公式，并通常写为二．Frenet公式在明确了Frenet公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导向量在Frenet标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它们的各阶导数等几何量具体表示出来．因此，利用Frenet公式和微积分学的一般知识，就有求解曲线几何问题的常用一般步骤：①　将几何条件表示成解析表达式；②分析条件，合理进行求导（或积分等等）运算和代数运算若干次，寻找所求几何结论所对应的解析表达式；③　从解析式表述几何结论．在学习过程

8、中，特别需要注意培养和提高恰当地使用这种步骤的能力．二．Frenet公式不仅仅局限在曲线几何上，从更为一般的角度讲，上述步骤实际上是“翻译”和“推演”这两类过程在进行适当的结合和互相提示；这种思维方式是重要的，适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程，特别适用于理性的数量关系问题的求解过程，当然包括适用于对曲面几何问题的讨论．具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理和公式的证明过程，直至理论框架．典型的使用过程，也可以参阅第七