双曲螺线曲率中心轨迹的曲率与挠率

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1、第3卷第2期南阳理工学院学报Vol．3No.22011年3月JOURNALOFNANYANGINSTITUTEOFTECHNOLOGYMar．2011双曲螺线曲率中心轨迹的曲率与挠率崔凤午(白城师范学院数学系吉林白城137000)摘要:本文给出双曲螺线曲率中心轨迹的曲率与挠率计算公式，揭示了双曲螺线的曲率、挠率与其曲率中心轨迹的曲率、挠率的关系，为深入研究双曲螺线曲率中心轨迹的结构奠定一定基础。关键词:双曲螺线;曲率中心;曲率;挠率定义3空间曲线(C)在一点的密切圆(曲率1基本概念圆)是过曲线(C)上一点P的主法线的正侧取线段11P

2、C，使PC的长为。以C为圆心，以为半径在密3kk设空间中C类曲线(C)的方程为:r=r(t)切平面上确定一个圆，这个圆为曲线(C)在P点的曲线(C)上一点P，其自然参数为s，另一邻近密切圆(曲率圆)，曲率圆的中心称为曲率中心C，［3］点P1，其自然参数为s+Δs。在P，P1两点各作曲线曲率圆的半径称为曲率半径。定义4由曲线r=r(t)的曲率圆的中心形成(C)的单位切向量α(s)，α(s+Δs)。这两个切向量［4］。的夹角是Δφ，也就是把点P1的切向量α(s+Δs)平的轨迹称为曲率中心轨迹移到点P后，两个向量α(s)

3、，α(s+Δs)的夹角为Δφ。2定理及证明［1］定义1空间曲线(C)在P点的曲率为［5］Δφ定理1双曲螺线r(t)={acosht，asinht，k(s)=lim

4、

5、Δs→0Δsat}，a＞0的曲率中心轨迹的曲率为其中Δs为P点及其邻近点P1间的弧长，Δφ为曲42*槡80cosht－176cosht+105线在点P和P1的切向量的夹角。k=3222acosht(8cosht－7)2它的几何意义是:曲线的切向量对于弧长的旋证明由参数方程r(t)={acosht，asinht，转速度。当曲线在一点的弯曲程度大，切向量对于at}，a＞

6、0得到弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯r'(t)={asinht，acosht，a}曲程度。r″(t)={acosht，asinht，0}，一般参数表示的曲率计算公式:

7、r'×r″

8、r(t)={acosht，asinht，0}，k=3

9、r'

10、所以［2］222定义2曲线(C)在P点的挠率为r'(t)×r″(t)={－asinht，acosht，－a}，2

11、r'(t)×r″(t)

12、=槡2acosht，··+

13、γ

14、，当γ和β异向，τ(s)=

15、r'(t)

16、=槡2acosht，{··3－

17、

18、γ

19、，当γ和β同向。(r'(t)，r″(t)，r(t))=a．它的几何意义是:挠率的绝对值是曲线的副法于是，双曲螺线的曲率k(t)和挠率τ(t)分别为向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度。

20、r'(t)×r″(t)

21、1k(t)==32一般参数表示的挠率计算公式

22、r'(t)

23、2acosht(r'，r″，r)(r'(t)，r″(t)，r(t))1τ=2τ(t)=2=2(r'×r″)(r'(t)×r″(t))2acosht基金项目:吉林省教育科学规划课题(B415017)作者简介:崔凤午(1960－)男，教授

24、，硕士生导师，主要研究方向:微分几何。E-mail:cuifengwu219@163．com第2期崔凤午:双曲螺线曲率中心轨迹的曲率与挠率·115·设曲线的曲率中心轨迹方程1r(t)=r(t)+β(t)k(t)(r'(t)·r″(t))r″(t)－(r'(t)·r″(t))r'(t)β(t)=

25、r'‖r'(t)×r″(t)

26、1sinht={cosht，0，－cosht}，2r(t)={acosht，asinht，at}+2acosht图1曲线由下往上成右旋曲线1sinht{cosht，0，－cosht}=

27、{3acosht，asinht，at－2asinhtcosht}．由定理2知，双曲螺线r(t)={acosht，asinht，at}，由上式得a＞0的曲率中心轨迹，因为(r'(t)，r″(t)，r(t))2r'(t)={3asinht，acosht，a－2a(sinht+=5sinh2t+7cosh2t＞0，所以τ(t)＞0，即曲率中心轨2cosht)}，迹与双曲螺线在一点邻域有相同的走向，曲线由下r″(t)={3acosht，asinht，－8asinhtcosht}，*［9］k2往上成右旋曲线(如图1)，因为一般

28、情况下，r(t)={3asinht，acosht，－8a(sinht+τ*2cosht)}．≠常数，双曲螺线的曲率中心轨迹不是一般22r'(t)×r″(t)={－asinht(4cosht+3)，［10］螺线。2233acosh