数学分析--可积理论.pdf

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1、积分复习之可积理论篇口诀：可积可积真淘气，“阴影面积”趋于零；这是第一充要性，连续单调全搞定。如果函数坏脾气，坏点割出要出力，再用第二要注意，坏点区间只头尾，最后接力算阴影，坏矩全放4M0.例1f(x)在[a,b]上连续，则可积.分析：(用第一充要条件)即证∑limwi(f;)∆xi=0

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5、→0也即证8">0;9>0;只要分划满足jjjj<就有∑wi(f;)∆xi<"从函数一致连续性，我们知道只要每个小区间充分小，这里所有的!i都可以放得一致小，那么结论还是有希望得出的。证明

6、：由函数在闭区间连续知，函数一致连续，从而对8">0,存在>0，使得′′′′′′"jxxj<时,就有jf(x)f(x)j<2(ba)从而若jjjj<时，所有小区间上任两点x′;x′′都满足jf(x′)f(x′′)j<",于是对2(b−a)所有的小区间上的振幅!i都满足"wi2(ba)故∑∑""wi(f;)∆xi∆xi=<":2(ba)2综上，我们有8">0,存在>0，jjjj<时，∑∑""wi(f;)∆xi∆xi=<"2(ba)2单调函数可积性不再证明

7、，因为它的证明是最特别的1在闭区间上只有一个间断点的函数的可积原因坏点割出时我们遵循的原则是：如果坏点为区间左端点a，则割[a;a+20]如果坏点为区间右端点b，则割[b20;b]如果坏点为区间为(a;b)中的点c，则割[c0;c+0]"其中0=;jfjM:12M下面我们只对第三种情形来证明。证明：对任意给定的">0,我们令"0=;(1)12M其中M满足jf(x)jM.由f在区间[a;c0]和[c+0;b]上连续，可知f在此两个区间上均可积.从而，由可积的第二充要条件可知

8、在[a;c0]和[c+0;b]上分别存在一个分化1:a=x0

9、w([c0;c+0])表示f在区间[c0;c+0]上的振幅。于是由(1),(2),(3)式，可得∑n∑m""!i∆xi+w([c0;c+0])20+!i∆yi<+2M
20+="33i=1i=1故再由可积第二充要条件可知，函数f在[a;b]上可积.2其他两种情形做为练习，请读者自己完成.注：到此，我们可以:如过f在闭区间上至多只有一个间断点，则f在此闭区间上必可积.有限个间断点的可积性分析我们不妨假设间断点为c1

10、区间左端点a，则割[a;a+20]如果坏点为区间右端点b，则割[b20;b]如果坏点ci为区间为(a;b)中的点，则割[ci0;ci+0]下面我们来证明间断点c1

11、间断点构成的数列收敛的函数可积性分析下面我们只讨论极限在(a;b)情形.无穷多个间断点跟有限个间断点比起来，表面上似乎有很大不同，但注意到收敛这个事实后就会发现一些有趣的事.证明：我们设间断点fxng的极限为c,即limxn=c;c2(a;b)n→∞对任意给定的">0,我们令"0=;(4)12M这里M满足jfjM.从而在[a;c0]及[c+0上至多只有有限个间断点，故可积，从而由可积的第二充要条件可知在[a;c0]和[c+0;b]上分别存在一个分化1:a=x0

12、=c0和2:c+0=y0