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时间:2020-10-16
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1、第九章定积分6可积性理论补叙一、上和与下和的性质性质1:对同一分割T,相对于任何点集{ξi}而言,上和是所有积分和的上确界,下和是所有积分和的下确界.即S(T)=△xi,s(T)=△xi.证:由s(T)≤△xi≤S(T),可知相对于任何点集{ξi},上和与下和分别是全体积分和的上界与下界.任给ε>0,在各个△i上有上确界Mi,可选取点ξi∈△i,使f(ξi)>Mi-.∴△xi>△xi=△xi-=S(T)-ε.∴S(T)=△xi.同理可证:s(T)=△xi.性质2:设T’为分割T添加p个新分点后所得到的分割,则有S(T)≥S(T’)≥S(T
2、)-(M-m)p;s(T)≤s(T’)≤s(T)+(M-m)p.即增加分点后,上和不增,下和不减.证:将p个新分点同时添加到T,与逐个添加到T,得到同样的T’.可先取p=1,则新分点将某小区间△k分成两个小区间△k’与△k”.∴S(T)-S(T1)=Mk△xk-(M’k△x’k+M”k△x”k)=Mk(△x’k+△x”k)-(M’k△x’k+M”k△x”k)=(Mk-M’k)△x’k+(Mk-M”k)△x”k.∵m≤M’k(或M”k)≤Mk≤M,∴0≤S(T)-S(T1)≤(M-m)△x’k+(M-m)△x”k=(M-m)△xk≤(M-m
3、).依次对Ti增加一个分点得到Ti+1,可得0≤S(Ti)-S(Ti+1)≤(M-m)≤(M-m),i=0,1,2,…,p-1,T0=T,Tp=T’.将这些不等式依次相加,可得:0≤S(T)-S(T’)≤(M-m)p,即S(T)≥S(T’)≥S(T)-(M-m)p.同理可证:s(T)≤s(T’)≤s(T)+(M-m)p.性质3:若T’与T”为任意两个分割,T=T’+T”表示把T’与T”的所有分点合并而得的分割,则.S(T)≤S(T’),s(T)≥s(T’);S(T)≤S(T”),s(T)≥s(T”).证:将T看作T’或T”添加新分点后得到
4、的分割,由性质2可知.性质4:对任意两个分割T’与T”,总有s(T’)≤S(T”).证:令T=T’+T”,则有s(T’)≤s(T)≤S(T)≤S(T”).注:由性质4可知,对[a,b]上的所有分割来说,所有下和有上界,所有上和有下界,且分别有上确界与下确界,记作S=S(T),s=s(T).通常称S为f在[a,b]上的上积分,s为f在[a,b]上的下积分.性质5:m(b-a)≤s≤S≤M(b-a).性质6:(达布定理)上、下积分也是上和与下和在→0时的极限,即S(T)=S,s(T)=s.证:任给ε>0,由S的定义,必存在某一分割T’使得S(
5、T’)0,存在δ>0,只要<δ,就有
6、(ξi
7、)△xi-J
8、<ε.又S(T)与s(T)分别为积分和关于点集{ξi}的上、下确界,∴当<δ时,有
9、S(T)-J
10、≤ε,
11、s(T)-J
12、≤ε,即当→0时,S(T)与s(T)都以J为极限.根据达布定理知,S=s=J.[充分性]设S=s=J,由达布定理有:S(T)=s(T)=J.任给ε>0,存在δ>0,只要<δ,就有:J-ε0,总存在某一分割T,使得S(T)-s(T)<
13、ε,即<ε.证:[必要性]设f在[a,b]上可积,则有[S(T)-s(T)]=0,即任给ε>0,只要足够小,则有S(T)-s(T)<ε.[充分性]由s(T)≤s≤S≤S(T),有0≤S-s≤S(T)-s(T)<ε.由ε的任意性,必有S=s,∴f在[a,b]上可积.定理9.16:(可积的第三充要条件)函数f在[a,b]上可积的充要条件是:任给正数ε,η,总存在某一分割T,使得属于T的所有小区间中,对应于振幅ωk’≥ε的那些小区间△k’的总长<η.证:[必要性]设f在[a,b]上可积,则对于εη>0,存在某一分割T,使<εη.∴ε≤≤<εη,
14、∴<η.[充分性]任给ε’>0,取ε=>0,η=>0.设某分割T中,ωk’≥ε的那些△k’的总长<η,其余那些小区间为△k”,则有=+<(M-m)+ε≤(M-m)η+ε(b-a)=+=ε’.∴
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