数学分析9.6可积性理论补叙.doc

《数学分析9.6可积性理论补叙.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第九章定积分6可积性理论补叙一、上和与下和的性质性质1：对同一分割T，相对于任何点集{ξi}而言，上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界.即S(T)=△xi,s(T)=△xi.证：由s(T)≤△xi≤S(T)，可知相对于任何点集{ξi}，上和与下和分别是全体积分和的上界与下界.任给ε>0，在各个△i上有上确界Mi，可选取点ξi∈△i，使f(ξi)>Mi-.∴△xi>△xi=△xi-=S(T)-ε.∴S(T)=△xi.同理可证：s(T)=△xi.性质2：设T’为分割T添加p个新分点后所得到的分割，则有S(T)≥S(T’)≥S(T

2、)-(M-m)p；s(T)≤s(T’)≤s(T)+(M-m)p.即增加分点后，上和不增，下和不减.证：将p个新分点同时添加到T，与逐个添加到T，得到同样的T’.可先取p=1，则新分点将某小区间△k分成两个小区间△k’与△k”.∴S(T)-S(T1)=Mk△xk-(M’k△x’k+M”k△x”k)=Mk(△x’k+△x”k)-(M’k△x’k+M”k△x”k)=(Mk-M’k)△x’k+(Mk-M”k)△x”k.∵m≤M’k(或M”k)≤Mk≤M，∴0≤S(T)-S(T1)≤(M-m)△x’k+(M-m)△x”k=(M-m)△xk≤(M-m

3、).依次对Ti增加一个分点得到Ti+1，可得0≤S(Ti)-S(Ti+1)≤(M-m)≤(M-m),i=0,1,2,…,p-1，T0=T，Tp=T’.将这些不等式依次相加，可得：0≤S(T)-S(T’)≤(M-m)p，即S(T)≥S(T’)≥S(T)-(M-m)p.同理可证：s(T)≤s(T’)≤s(T)+(M-m)p.性质3：若T’与T”为任意两个分割，T=T’+T”表示把T’与T”的所有分点合并而得的分割，则.S(T)≤S(T’),s(T)≥s(T’)；S(T)≤S(T”),s(T)≥s(T”).证：将T看作T’或T”添加新分点后得到

4、的分割，由性质2可知.性质4：对任意两个分割T’与T”，总有s(T’)≤S(T”).证：令T=T’+T”，则有s(T’)≤s(T)≤S(T)≤S(T”).注：由性质4可知，对[a,b]上的所有分割来说，所有下和有上界，所有上和有下界，且分别有上确界与下确界，记作S=S(T),s=s(T).通常称S为f在[a,b]上的上积分，s为f在[a,b]上的下积分.性质5：m(b-a)≤s≤S≤M(b-a).性质6：(达布定理)上、下积分也是上和与下和在→0时的极限，即S(T)=S，s(T)=s.证：任给ε>0，由S的定义，必存在某一分割T’使得S(

5、T’)0，存在δ>0，只要<δ，就有

6、(ξi

7、)△xi-J

8、<ε.又S(T)与s(T)分别为积分和关于点集{ξi}的上、下确界，∴当<δ时，有

9、S(T)-J

10、≤ε，

11、s(T)-J

12、≤ε，即当→0时，S(T)与s(T)都以J为极限.根据达布定理知，S=s=J.[充分性]设S=s=J，由达布定理有：S(T)=s(T)=J.任给ε>0，存在δ>0，只要<δ，就有：J-ε0，总存在某一分割T，使得S(T)-s(T)<

13、ε,即<ε.证：[必要性]设f在[a,b]上可积，则有[S(T)-s(T)]=0，即任给ε>0，只要足够小，则有S(T)-s(T)<ε.[充分性]由s(T)≤s≤S≤S(T)，有0≤S-s≤S(T)-s(T)<ε.由ε的任意性，必有S=s，∴f在[a,b]上可积.定理9.16：(可积的第三充要条件)函数f在[a,b]上可积的充要条件是：任给正数ε,η，总存在某一分割T，使得属于T的所有小区间中，对应于振幅ωk’≥ε的那些小区间△k’的总长<η.证：[必要性]设f在[a,b]上可积，则对于εη>0，存在某一分割T，使<εη.∴ε≤≤<εη，

14、∴<η.[充分性]任给ε’>0，取ε=>0，η=>0.设某分割T中，ωk’≥ε的那些△k’的总长<η，其余那些小区间为△k”，则有=+<(M-m)+ε≤(M-m)η+ε(b-a)=+=ε’.∴