极限函数与数的连续性 可积性与可微性.doc

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1、极限函数与函数的连续性可积性与可微性主要讨论连极限函数与函数的连续性可积性与可微性。定理13.2.1设函数列在上一致收敛于，且对，，则、均存在，且相等，即。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）定理13.9（连续性）若函数列在区间I上一致收敛于，且对，在I上连续，则在I上也连续。说明：若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区间I上不一致收敛。如：在上。定理13.10（可积性）若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则。注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序；注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的

2、：例1、讨论下列函数的连续性与可积性函数，。解：（略）定理13.11（可微性）设为定义在上的函数列，若为的收敛点，的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则。注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序；注3：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如：例2、设函数列，。下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出。定理13-12（连续性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数也在区间上连续。注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运

3、算可以交换顺序，即。定理13-13（逐项求积）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则。注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。定理13-14（逐项求导）若函数项级数在区间上每一项都有连续导函数，为函数项级数的收敛点，且在区间上一致收敛，则。注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序。