黎曼函数的极限和间断点和可积性.doc

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1、为什么说在（0，1）中的每个有理点都是它的极大值点，每个无理点都是它的极小值点；该函数在每个有理点都不连续，在每个无理点都连续？证明:1)因为每个无理点都是最小值点，从而是极小值点2)假设存在有理点x，x不是极大值点，则必有任意小的a，R(x)在o(x,a)即x的邻域中找到点x0,使得R(x0)>R(x).换句话说，绝对值任意小的a，存在整数r,s,使得(q/p-a)=r/s(s

2、值为04)无理点连续，是因为:任意一个无理点a，在a的任意小的邻域内含的有理点的分母必然极大。（理由同2，小分母有理点具有区间有限性）这个问题关键在于证明对于任意一个给定的无理数u,那么对于任意一个给定的小正数e,存在一个u的领域(s,t)使得这个函数在此领域内取值都小于e。我们取整数E>1/e,由于u是无理数，我们列出(0,1)中所有分母不超过E的有理数，由于是有限个，其中必然有两个h,g使得h

3、函数在无理数点的连续性。而证明所有有理数点都是极大值的方法完全类似任何区间内分母不超过任意给定整数N的有理数（最简表示）都是有限的。这个性质可以类似用来证明R（x）黎曼可��