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1、高等数学研究Vol.12,No.430STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJul.,2009推广与应用3黎曼可积函数列的极限理论及应用123邢家省郭秀兰饶明贵1(北京航空航天大学数学系数学信息与行为教育部重点实验室北京100083;23河南工业大学郑州450000;河南工程学院郑州451191)摘要对黎曼可积函数列的极限函数的可积性进行讨论.运用黎曼积分自身的理论依次证明了:一致收敛函数列的极限函数的黎曼可积性,黎曼积分下的控制收敛定理和广义积分下的控制收敛定理,并给出了一些应用例子.关键词黎曼积分
2、;函数列积分极限;积分控制收敛定理.中图分类号O177.2在数学分析课程中,关于黎曼可积函数列的极限函数的可积性问题涉及很少,原因是,目前人们认为,要解决这样的问题,需要借助勒贝格测度与勒贝格积分理论.如果在数学分析中引入这些知识,势必会破坏现有课程的结构,而且接受起来难度太大,花费时间也长,不必要也不现实.因此,现有一般教材中干脆对这个问题避而不谈,也有部分处理办法是,将函数列的条件加强至连续.我们发现,它完全可以用黎曼积分自身的理论来解决,不需勒贝格测度方面的任何知识.这样一来,不仅使人们易于接受、掌握和应用,更
3、重要的是,由此还可以得到其它一系列结果,使得黎曼积分理论进一步完善和系统化.1一致收敛的函数列的极限函数的黎曼可积性定理1假设函数列fm的每一项都在区间[a,b]上可积,如果fm在[a,b]上一致收敛于函数f,则函数f在[a,b]上可积,且bblimfm(x)dx=f(x)dx,m→∞∫a∫a亦即成立bblimfm(x)dx=limfm(x)dx.m→∞∫a∫am→∞b证法一分两步进行,首先设Jm=fm(x)dx,证明数列Jm收敛;然后证明函数f在[a,b]∫a上可积,其积分值就是Jm的极限值.33由于fm在[a,b
4、]上一致收敛于f,故任给ε>0,存在M=M(ε)∈N(N为自然数集),3当m>M时,对于任意x∈[a,b],p∈N,成立不等式ε
5、fm+p(x)-fm(x)
6、<,b-a从而bb
7、Jm+p-Jm
8、=
9、fm+p(x)dx-fm(x)dx
10、=∫a∫a3收稿日期:2007-09-12.基金项目:北京航空航天大学精品课建设项目基金资助;河南省教育科学“十一五”规划课题(2007-JKGHAZ-019).第12卷第4期邢家省,郭秀兰,饶明贵:黎曼可积函数列的极限理论及应用31bb
11、(fm+p(x)-fm(x))dx
12、≤
13、fm+p
14、(x)-fm(x)
15、dx<ε,∫a∫a这说明Jm是基本列.根据柯西收敛原理,可知数列Jm收敛.令limJm=J,那么,对上述ε,必存m→∞3在M1=M1(ε)∈N,当m>M1时,
16、Jm-J
17、<ε.另对区间[a,b]进行任意分割Δ:a=a018、在M2=M2(ε)∈N,当m>M2时,对任意x∈[a,b],成立不等式ε
19、fm(x)-f(x)
20、<,b-a从而nn
21、σ(fm)-σ(f)
22、=
23、∑[fm(ξi)-f(ξi)]Δxi
24、≤∑
25、fm(ξi)-f(ξi)
26、Δxi<ε.i=1i=1综合以上结论,得知,若取m0>max(M1,M2),就有
27、σ(fm)-σ(f)
28、<ε,
29、Jm-J
30、<ε.00由于fm(x)在[a,b]上可积,其积分值为Jm,则存在δ>0,对任意分割Δ,只要λ(Δ)<δ,就00有
31、σ(fm)-Jm
32、<ε.从而,当λ(Δ)<δ时,有00
33、σ(f)-J
34、≤
35、
36、σ(f)-σ(fm)
37、+
38、σ(fm)-Jm
39、+
40、Jm-J
41、<3ε
42、,0000b所以,函数f在[a,b]上可积,且积分f(x)dx=J,故∫abblimfm(x)dx=f(x)dx.m→∞∫a∫a证法二对区间[a,b]的任意分割Δ:a=x043、f(y1)-f(y2)
44、:y1,y2∈Ii,1≤i≤nnnω(fm,Δ)=∑ω(fm,Ii)Δxi,ω(f,Δ)=∑ω(f,Ii
45、)Δxi.i=1i=13由fm在[a,b]上一致收敛于f,得对任意ε>0,存在m∈N,使得不等式ε
46、fm(x)-f(x)
47、<4(b-a)对任意的x∈[a,b]成立;因为fm(x)在[a,b]上可积,故对上述ε>0,必存在δ>0,使对任何分ε割Δ,当λ(Δ)<δ时,都有ω(fm,Δ)<.由于对任意y1,y2∈Ii,成立2ε
48、f(y1)-f(y2)
