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1、第25卷第2期大学数学Vol.25,№.22009年4月COLLEGEMATHEMATICSApr.2009分段函数、函数的可积性与原函数存在性马保国,王延军(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000)[摘要]论述了分段函数在数学分析中的作用,并以分段函数为工具,给出了函数的原函数存在和黎曼可积之间的关系,有助于全面掌握原函数和定积分这两个重要概念.[关键词]分段函数;可积性;原函数;间断点[中图分类号]O174[文献标识码]C[文章编号]167221454(2009)0220200204在一元函数积分学中,原函数(不定积分)和定积分概念,虽然它们建立的背景有很
2、大的不同,但是,当我们建立了微积分基本定理之后,就把二者联系起来了.于是,许多初学者就产生错觉,认为函数的原函数存在,则函数就黎曼可积(简称可积);或者函数可积,则其原函数就一定存在.在现行的数学分析教材中,尽管也指出原函数存在和函数可积没有必然的联系,但由于教材篇幅和讲授学时的限制,对原函数存在性和可积性间的关系,没有作一般性的讨论.本文以数学分析教材内容为基础,利用分段函数对函数的原函数存在性和可积性作一些补充讨论,以帮助初学者弄清原函数存在性和可积性这两个重要概念之间的相互关系.1分段函数众所周知,在数学分析中重点讨论的是有广泛应用的初等函数.对于非初等函数的讨论常
3、出现在一些重要概念和理论问题的进一步剖析和讨论中,它的主要应用之一就是构造满足某些要求的反例,由此对概念或定理进行辨析与阐述,分段函数就是这样一类重要的函数.如,狄利克莱函数、黎曼函数、符号函数等就是这方面应用的典范.所谓分段函数,是指在函数定义域的不同部分不是用一个解析式表示,而是用几个不同的解析式来表达的函数,有时可能要用无穷多个解析式.分段函数一般定义为:设I是一个区间,f在I上有意义且满足n(i)I=∪Ii,Ii∩Ij=Á(i≠j);(ii)f(x)=fi(x),x∈Ii,i=1,2,⋯,n,i=1则称f为I上的分段函数.由于数学分析中遇的分段函数,每个fi都是I
4、i上的初等函数,所以和初等函数一样我们可以去讨论它们的极限、连续、可微和可积等分析性质.由于这类函数在函数定义域的不同部分用不同的解析式来表示的,所以它们经常具有某些独特的性态,这也正是我们所关注的.特别在函数解析表达式的分界点处,是出现这类独特性态的敏感点,因而是讨论的重点.通过对分界点的讨论可以论证函数的一些典型的或重要的性质.例如,为了强调函数在一点连续性是函数的局部性质,在数学分析中给出了黎曼函数,并证明它在有理点处都不连续,在无理点处都连续.从而使学生对函数在一点连续的局部特征有更强烈的印象.[收稿日期]2006211202[基金项目]陕西省第三轮高等教育教学改
5、革项目(2005295);陕西省精品课程项目(2006256)第2期马保国,等:分段函数、函数的可积性与原函数存在性201概括地说,利用分段函数可以强化数学分析中的一些基本概念;利用分段函数可以辨析函数的连续性、可导性、可积性等之间的关系;利用分段函数可以构造具有某些特殊性质的函数;利用分段函数可以解答数学分析中的一些疑难问题.总之,分段函数是一类具有特殊性质的重要函数,在数学分析(乃至整个高等数学)中有重要应用和[3,6]地位.在教学中,如果我们能充分的应用分段函数的特点,引导学生掌握基本概念和理论正面和反面的意义,进而准确理解和掌握这些基本概念和理论,这对于提高数学分
6、析教学效果是十分重要的.2函数的可积性与原函数存在性2.1函数的可积性与原函数存在性的基本结论[1]在数学分析教材中,对区间[a,b]上的函数f的可积性一般给出如下基本结果(定理1),通常称为积分的充分条件(可积函数类).定理1(i)若函数f在区间[a,b]上连续,则f在区间[a,b]上可积;(ii)若有界函数f在区间[a,b]上仅有有限个间断点,则f在[a,b]上可积;(iii)若函数f在区间[a,b]上单调,则f在[a,b]上可积.根据定义,所谓f在某区间上原函数存在,是指在该区间上能找到一个函数F,使得在该区间上等式F′(x)=f(x)成立.对原函数的存在性,我们有
7、定理2若函数f在区间[a,b]上连续,则f在区间[a,b]上原函数存在.以上两个定理在数学分析教材中均有证明,这里不再赘述.进一步,对函数原函数的存在性,我们有下列事实:定理3(i)若函数f在区间[a,b]上含有第一类间断点,则f在[a,b]上不存在原函数;(ii)若函数f在区间[a,b]上有无穷型间断点,则f在[a,b]上不存在原函数;(iii)若函数f在区间[a,b]上存在原函数,则f在[a,b]上的间断点是第二类的.证(i)设x0∈[a,b]是f的第一类间断点,且f在区间[a,b]上存在原函数F,则F′(x)=f(x),
