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1、2007年2月襄樊学院学报Feb.,2007第28卷第2期JournalofXiangfanUniversityVol.28No.2关于分段函数的原函数樊孝菊(襄樊学院数学系,湖北襄樊441053)摘要:文章主要讨论了连续分段函数、具有第一类间断点的分段函数、具有第二类间断点的分段函数三种情形的原函数问题.关键词:分段函数;间断点;原函数中图分类号:O172.1文献标志码:A文章编号:1009-2854(2007)02-0018-02⎧f(),xaxc≤≤;1分段函数f()x=⎨(1)⎩f(),xcxb<≤.2文章以式(1)为例,讨论f()x在区间[a
2、b,]上的原函数问题.1分段函数f(x)在区间[a,b]上连续的情形下的原函数问题[1]引理1设f(x)在区间[]a,b上连续,在(a,b)内可导,若极限limf′(x)=f′(a+0)存在,则f(x)x→a+0在a点的右导数f′()a存在,且fafa′′()=+(0).++对于左导数也有类似的结论.引理2设F(x)在区间(,]ab上具有连续的导数,且F′(a+0)存在,则F(a+0)存在.⎧F′(),xaxb<≤;证明:定义g(x)=⎨则g(x)是[a,b]上的连续函数,于是g(x)的原函数一定存在.⎩F′(0ax+=),.a**设它的原函数为F(x
3、),则F(x)在[]a,b上一定连续.*由于F(x)为g(x)在(,]ab上的原函数,所以当x∈(a,b]时有F(x)=c+F(x).*令x→a+0,则得F(a+0)=c+F(a+0),这说明F(a+0)存在.证毕.下面考查形如(1)式的分段函数f(x)的原函数问题.若f(x)在[a,b]上连续,就意味着f(x)在[a,c]1上连续,f(x)在(c,b]上连续,且f(c+0)=f(c).221有如下定理.⎧f(),xaxc≤≤;1定理设分段函数f(x)=⎨在[a,b]上连续,则⎩f(),xcxb<≤.21)存在f(x)在[]a,c上的一个原函数F(x)
4、及f(x)在(c,b]上的一个原函数F(x),使F(c+0)存在11222且F(c+0)=F(c);21⎧F1(x),a≤x≤c;2)F(x)=⎨就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.F(x),c5、,女,湖北京山人,襄樊学院数学系高级讲师.第28卷第2期襄樊学院学报2007年第2期**令F(x)=F(x)+F(c)−F(c+0)(2)2212则F(x)也是f(x)在(c,b]上的一个原函数,且F(c+0)=F(c).2221⎧F1(x),a≤x≤c;2)令F(x)=⎨(3)F(x),c6、进一步,对于无穷区间(−∞,+∞)的情形定理也成立.x⎧e,x≤0;示例1:求分段函数f(x)=⎨的一个原函数.⎩x+1,x>0.x由于f(x)为()−∞,+∞上的连续函数,所以其原函数一定存在.当x≤0时,e的一个原函数为2x*x0*F(x)=e;当x>0时,x+1的一个原函数为F(x)=+x,由于F(0)=e=1,F(0+0)=0,121222**x由式(2)可得F(x)=F(x)+F(0)−F(0+0)=+x+1,22122x⎧e,x≤0;⎪2由式(3)可得F(x)=⎨x即是f(x)的一个原函数.+x+1,x>0.⎪⎩2[3]2分段函数f(x)在
7、区间[a,b]上x=c点处具有第一类间断点的情形1)分段函数f(x)在区间[a,b]上,除x=c点处具有第一类跳跃间断点外,在其它各点处处连续时,f(x)在x=c点处无原函数.事实上,由于f(c−0),f(c+0)均存在,但fc(0−)(0≠+fc).若f(x)在[]a,b上有原函数,设它1212的一个原函数为F(x),则有limFxfc′()=+(0),limFxfc′()=(−0)均存在.21xc→+0xc→−0′′′′由引理1知Fcfc()=+(0),Fcfc()=(−0),所以F(c)≠F(c),故F(x)在x=c处不可导.故+2−1+−f(x
8、)在x=c点处无原函数.2)分段函数f(x)在区间[a,b]上除x=c点处具有第一类可去间断点