导函数与原函数

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1、导函数与原函数的性质Thepropertiesoftheprimitivefunctionandthederivativefunction专业:数学与应用数学作者:江亮指导老师:涂建斌湖南理工学院数学学院二○一一年五月岳阳湖南理工学院本科毕业论文摘要本文归纳总结了导函数和原函数的一些性质，并探讨了导函数和原函数的性质应用以以及原函数与函数可积的关系关键词:导函数；原函数；连续函数；不定积分；II湖南理工学院本科毕业论文AbstractThepapersummarizessomepropertiesoftheprimitivefunctionandthederivativefu

2、nctionanddiscussestheirapplicationandtherelationshipbetweenprimitivefunctionandintegrablefunctionKeywords:derivativefunction;primitivefunction;continuousfunctionII湖南理工学院本科毕业论文目录摘要IABSTRACTII0引言11导函数的性质11.1导函数的性质及其证明11.2导函数性质的应用52原函数的性质82.1原函数的性质及其证明82.2原函数与不定积分的关系13参考文献15湖南理工学院本科毕业论文0引言法国数学

3、家费马（Fermat,1601—1665）在研究极值问题时,首先提出了近似于现在的导数概念,随后,英国数学家(Newton,1642—1727)和德国数学家(Leibniz,1646—1716),在费马等人的基础上,建立了类似于现代的导函数与原函数的概念.即若函数在区间可导,则对任意的都存在唯一一个导数,称为在区间的导函数.设函数在区间有意义,存在函数,若对任意的,有,则称函数是在区间的原函数.导函数与原函数是微积分学中两个重要的基本概念,一直受到数学工作者得关注.近年来,仍有许多学者发表关于导函数与原函数的性质的研究成果,如文献[2],[3],[4].本文将散见与一些文献中

4、的有关导函数与原函数的性质进行归纳总结,并讨论这些性质的若干应用.文章最后还讨论了原函数与函数可积的关系.本文没有特别申明的符号和定理均与文献[1]相同.1导函数的性质定理设在上可导,且,为介于,之间任一实数,则至少存在一点,使得.证明不妨设.作辅助函数,有,由题设易知，,.由极限的保号性知,存在,当时,有第14页,共14页湖南理工学院本科毕业论文，从而.同理可得知.又在上可导,故连续.由连续函数的最值知，存在,使为的最小值.由上面知,均不是的最小值,故的最小值位于内,则为的极值点.根据费马,有,即.对于的情况,同理可证.证毕■定理1.1称之为导函数的介值定理,由定理不难得到

5、如下推论.推论设在上可导,且,则至少存在一点,使得.定理（导函数极限定理）设函数在点的某邻域内连续,在内可导,且极限存在,则在点可导,且.（1.1）证明分别按左右导数来证明（1.1）式成立.任取,在上满足拉格朗日定理条件,则存在,使得.（1.2）由于,因此当时,有,对（1.2）式两边取极限,得.同理可得.第14页,共14页湖南理工学院本科毕业论文又因为存在,所以,从而,即.证毕■由该定理还可以得到如下推论：推论在区间上,设是的导函数,对任一,极限存在,则在区间上连续.推论的结论说明:只要导函数在某点的极限存在,则在该点就连续.这是一般函数不具有的.另外,不难发现推论的逆命题也

6、是成立的,故它可作为判断导函数连续的充要条件.由闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、一致连续性等,可以得到下面结论:推论设函数是上函数的导函数,且对任一,极限存在,则在上有界,且满足一般函数的最值性、介值性、一致连续性.由推论可知在上是连续函数,而连续函数在闭区间上具有有界性、最值性、介值性、一致连续性等性质,故可知推论结论成立.定理设是区间上的导函数,则在区间上没有第一类间断点.证明假设在区间上有第一类间断点,则与都存在.由于是的导函数,故有.（1.3）由拉格朗日中值定理可知,存在一点,使得式（1.3）右边部分.故有.第14页,共14页湖南理工学院本科毕业论文同理可证

7、.则.即在点连续,这与是的第一类间断点矛盾,故假设不成立,命题得证.证毕■定理1.4设在上可导,则在上有界的充分必要条件是满足利普希兹条件,即存在常数,使对上任意两点,有.证明先证充分性.由满足利普希兹条件,即,有,于是有,即.又由的任意性知,在上有界.再证必要性.由于在上有界,即存在正常数使得,有.利用拉格朗日中值定理知,对内任意两点和,使得.即满足利普希兹条件.证毕■1.2导函数性质的应用第14页,共14页湖南理工学院本科毕业论文下面通过一些例题来讨论导函数性质的一些应用.例1设函数在区间上的导函数