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1、DOI:10.16729/j.cnki.jhnun.2004.02.008第24卷第2期承德民族师专学报Vol.24No.22004年5月JournalofChengdeTeachers'CollegeforNationalitiesMay.2004可微函数的导函数与原函数的奇偶性讨论包建廷,王庆丽(河北大学硕研班,河北保定071002)摘要:函数的奇偶性是研究函数性态的重要知识,应用十分广泛。在高等数学中,可微函数的导函数的奇偶性与原函数的奇偶性也存在密切的联系。本文利用高等数学的知识进行讨论。关键词:可微函数;导函数;原函数;奇偶数;原函数奇偶性中图分类号:O172文献标识
2、码:A文章编号:1005-1554(2004)02-0013-01一、预备知识二、可微函数的导函数的奇偶性定义:如果对于函数y=f(x)的定义域内任意命题1:可微奇函数的导函数是偶函数,可微偶一个x有f(-x)=-f(x)称y=f(x)是奇函数,f(-函数的导函数是奇函数x)=f(x)称为偶函数。证明:设y=f(x)是可微的奇函数。结论:(1)函数y=f(x)是奇(偶)函数,则定义则f(-x)=-f(x)同时求导。域关于原点对称。说明:定义域关于原点不对称的函-f′(-x)=-f′(x)即f′(-x)=f′(x)数,一定不存在奇偶性。所以f′(x)是偶函数。(2)奇函数的图像关
3、于原点成中心对称图像,偶设:y=f(x)是可微的偶函数f′(-x)=f(x)同函数的图像关于y轴成对称图形,反之成立,利用其时求导作出函数图像。-f′(-x)=f(x)f′(-x)=-f′(x)(3)若y=f(x)在定义域上既为奇函数又为偶所以y=f′(x)是奇函数函数则它的解析式f(x)=0例如:y=sinx是奇函数,(sinx)′=cosx证明:用f(x)既为奇函数又为偶函数y=cosx是偶函数x∈m,…-x∈m.命题2复合函数y=f(u),u=ψ(x)可微,导函f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)数ψ′(x),f′u[ψ(x)]对于x来说,奇偶性相同。则复既-f(x
4、)=f(x)既f(x)=0合函数的导函数y′是偶函数,ψ′(x),f′u[ψ(x)]奇偶(4)两个(奇)偶函数的和(差),在公共定义域内性相异,则复合函数的导函数y′是奇函数。都是奇(偶)函数,一个奇函数与一个偶函数的和证明:若y=f(u),u=ψ(x)可导,ψ′(x),f′u[ψ(差)在公共定义域内是非奇非偶函数。(x)]对x是偶函数则:(5)复合函数的奇偶性y′=f′u(u)ψ′(x)=f′u[ψ′(x)]若u=ψ(x)为奇函数,若y=f(u)为奇函数,这是两个偶函数之积,故y′是偶函数。复合函数y=f(ψ(x))在定义域内为奇函数若ψ′(x)与f′u[ψ(x)]奇偶性相异
5、,偶函数与奇若y=f(u)为偶函数,则y=f(ψ(x))在定义域函数之积是奇函数。22内为偶函数。y=sinuu=x复合函数y=sinx2证明:(1)若u=ψ(x)为奇函数,y=f(u)为奇函y=cosxu′x=2x2数,f[ψ(-x)]=f[-ψ(x)]=f[-u]=-f[u]=-f有cosx是偶函数u′x=2x是奇函数2[ψ(x)]则y′=2x·cosx是奇函数。同理证明(2)成立。三、可微函数的原函数的奇偶性命题3.若函数f(x)在区间上连续且收稿日期:2003—12—15(6)若f(x)为奇函数,则f(x)的一切原函数作者简介:包建廷(1966—),男,蒙古族,承德民族
6、师专都是偶函数。(下转第32页)数学系副教授。—13—张雪莲/著学习利用Authorware制作帮助文件制作成精美图片再输入。6.输入各个帮助主题的内容。在Helptopicmenu的右侧放置一显示图标,命名为Overview,双击打开,输入相关内容。与此相同,依次创建其它显示图标,并输入相应主题的内容。7.创建主题按钮与其内容之间的链接。双击打开Helptopicmenu群组图标,在Selecttopic右侧放置一导航图标,设置为热区响应,双击打开,进入NavigateIcon对话框,从Destination区的下拉列表中选定Anywhere选项,从弹出的图标选择窗口中选定O
7、verwiew图标作为链接对象,单击OK,双击其上面的热区标志,在弹出的对话框中进行设置,响应类型为Hotspot,匹配方式为Single-click,并从显示窗口中设置热区的位置和大小。同样设置其它至此,关于目录这个菜单项就制作完了。有关其主题按钮与相应内容之间的链接。他菜单项的制作,读者可依次进行制作,由于篇幅限8、进行多级弹出窗口设置。一个完整的帮助文制,这里就不多说了。整个程序的流程图如图3所件是通常需要多级弹出窗口的,可分别在各个显示示。图标中设置超文本链接。(上接第13页)只有当
