数学分析9.3可积条件.doc

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1、第九章定积分3可积条件一、可积的必要条件定理9.2：若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界.证：若f在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T，必存在属于T的某个小区间△k，f在△k上无界.在i≠k的各个小区间△i上任取ξi，并记G=

2、

3、.对任意大的正数M，存在ξk∈△k，使得

4、f(ξk)

5、>，于是有

6、

7、≥

8、f(ξk)△xk

9、-

10、

11、>·△xk-G=M.因此，对于无论多小的║T║，按上述方法选取的点集{ξi}，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f在[a,b]上可积矛盾.∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可

12、积。例1：证明狄利克雷函数D(x)=在[0,1]上有界但不可积.证：∵

13、D(x)

14、≤1,x∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密可知，在属于T的任一小区间△i上，当取ξi全为有理数时，=1；当取ξi全为无理数时，=0.即不论║T║多么小，只要点集{ξi}取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限，∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f在[a,b]上有界，T是[a,b]上的任一分割，则在每个△i存在上、下确界：Mi=f(x)，mi=f(x)，i=1,2,…,n.记S

15、(T)=,s(T)=，分别称为f关于分割T的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则任给ξi∈△i,i=1,2,…,n，有s(T)≤≤S(T).注：达布和与点集{ξi}无关，只与分割T有关.定理9.3：(可积准则)函数f在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割T，使得S(T)-s(T)<ε.注：设ωi=Mi-mi，称为f在△i上的振幅，可记为ωif，则有S(T)-s(T)=，可记作.定理9.3’：函数f在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的某一分割T，使<ε.可积的充要条件的几何意义：若f在[a,

16、b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理9.4：若f为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上可积.证：f在[a,b]上连续，从而一致连续.∴任给ε>0，存在δ>0，对[a,b]中任意两点x’,x”，只要

17、x’-x”

18、<δ，就有

19、f(x’)-f(x”)

20、<.对[a,b]作分割T使║T║<δ，则在T所属的任一区间△i上，就能使f的振幅满足ωi=

21、f(x’)-f(x”)

22、≤，从而有≤=ε，原命题得证.定理9.5：若f为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在[a,b]

23、上可积.证：设端点b是f在[a,b]上的间断点，任给ε>0，取δ’>0，满足δ’<

24、命题仍成立.定理9.6：若f是[a,b]上的单调函数，则f在[a,b]上可积.证：设f为增函数，且f(a)0，只要║T║<，就有<ε.∴f在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)=在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x1

25、2≤,n=1,2…，则=f(x1)0，∵=0，∴当n充分大时，有<.即f在[,1]上只有有限个间断点.∴f在[,1]上可积，且存在对[,1]的某一分割T’，使得<.∴对[0,1]的一个分割T，由f在[0,]的振幅ω0<0，可得=ω0+<+=ε.∴f在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)=在区间[0,1]上可积，且dx=0.证：任给ε>0，在[0,1]内使得>的有理点只有有限个，设它们为r

26、1,r2…,rk.现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n},使║T║<，