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时间：2020-03-17
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1、一、可积的必要条件二、可积的充要条件三可积条件三、可积函数类一、可积的必要条件定理9.2若函数在上可积，则在上必定有界。证：（用反证法）。在上无界，则对于的任一分割T，必存在属于T的某个小区间在上无界，在的各个小区间上任意取定并记若，使得：现对任意大的正数M，由于在上无界，故存在于是有：这与在上可积相矛盾，从而定理得证。注：任何可积函数一定是有界的，但有界函数却不一定可积。例1证明狄理克雷函数在上有界但不可积。证显然对于的任一分割，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于的任一小区间当取全为有理数时，当取全为无理数时，
2、所以无论多么小，只要点集取法不同，全取有理数或全取无理数，积分和有不同极限，即在不可积二可积的的充要条件任给显然有Riemann可积的第一充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xixi-1xiRiemann可积的第二充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xiRiemann可积的第三充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积xi-1xi三、可积函数类
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