多元函数可微的充分必要条件(1)

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1、第二十四卷第九期楚雄师范学院学报Vo1．24NO．92009年9月J0URNALOFCHUXIONGN0RMALUNIVERSn'YSep．2009多元函数可微的充分必要条件支U孝书刊、跃蜀(商丘师范学院数学系，河南商丘476000)摘要：常见的数学分析教材都仅给出二元函数可微的必要条件或充分条件，本文将给出并证明二元函数可微的两个充分必要条件。关键词：多元函数；可微；偏导数；充分必要条件中图分类号：0172文章标识码：A文章编号：1671—7406(2009)09—0027—04引言现在通用的数学分析教材

2、⋯，在证明函数，Y)在点P。(。，Yo)存在两个偏导数是函数，Y)在点P。(，Yo)可微的必要条件后，举例说明，二元函数存在两个偏导数不一定可微。显然，若函数，Y)在点P0(。，Yo)可微，则函数，Y)在点Po(。，Yo)连续。但函数，Y)在点P。(，Y。)连续仅是函数-厂(，Y)在点P。(。，Yo)可微的必要条件，并非充分条件。同时，函数，Y)在点P。(。，Y。)连续且存在两个偏导数，也仅是函数，Y)在点Po(。，Yo)可微的必要条件，并非充分条件。例如函数f—，+yZ≠0，Y)={【+Y0．2+yZ：0

3、在点0(0，0)连续，且与存在，但不可微。文[3]对二元函数可微的充分条件进行了深入的探讨，获得了一个在较弱条件下判断函数I厂(，Y)可微的条件，即定义如果对于函数z=，Y)存在叼>0，使得当lAyl<叼时(，Yo+△y)存在，且当一0时，变量—一(。，Yo+Ay)，(Ax≠0)o~(Ax,Ziy)=(Ax=0)关于Ay一致趋向于0，即对任意的>0，存在6>0，当0

4、定义z：I厂(，Y)在点P。(。，Y。)关于对Y一致可导。定理若函数=I厂(，Y)在点P0(。，Y。)有(。，Y。)存在，Y)关于Y对一致可导，且(。，Y)在y0连续，则=，Y)在点P。(，Y。)可微．同时文[3]也指出上述条件仅是函数l厂(，Y)在点P。(，Yo)可微的充分条件，并非必要条件。那么，函数八，Y)在点P。(。，Y。)可微的充分必要条件是什么?常见的数学分析教材中并没有给出，甚至基金项目：商丘师范学院2008年教学改革研究校级资助项目。收稿日期：2009—05—11作者简介：刘孝书(1957一

5、)，男，河南商丘人，教授，主要从事函数论的教学与研究。·27·楚雄师范学院学报2009年第9期楚雄师范学院学报2009年第9期国外的微积分学教程㈨也没有涉及，文[5]给出了凸性多元函数可微的一个充要条件。笔者在长期的教学研究中，受文[5]的启发，获得了一般的多元函数可微的两个充分必要条件，现介绍给同行，不妥之处，敬请赐教。1．主要结论与证明定理1设函数，(，Y)在点P。(。，Y。)的邻域U内有定义，则函数，(，Y)在P。(。，Y。)点可微的充分必要条件是，Y)在点P。(。，Y。)的两个偏导数都存在，且，(，

6、Y)一0，Y)一厂(，Y0)+厂(0，Y0)=D(p)其中(，Y)∈U，P=~／(—0)+(Y—Yo)。证明必要性因为函数，Y)在Po(。，Yo)点可微，故存在(，Yo)(Xo，Yo)，且／，)，)-f(。，)-f(，Yo)+／。，Yo)：／，Y)一，(。，Y0)一tf(，Y。)一／。，Yo)+／0，Y)-f(zo，Yo)1：，Y)一，(0，Yo)一【(o，Yo)(—o)+(0，Yo)(Y—Yo)+(—0)+／3(y—Yo)】其中当(z，Y)一(x。，Y。)时，仅，一0。由函数厂(，Y)在P。(。，Y。)点

7、可微性的假设，知，(，Y)一厂(o，Y。)一(。，Y。)(—o)一(0，Yo)(Y—Y0)=0(p)又(—0)+卢(y—Yo)=o(o)。故，Y)-f(，Y)一，Yo)+，Yo)：O(p)。充分性因为(。，Yo)(。，y0)存在，且，Y)一，(0，Y)一，Yo)十0，Y0)=o(o)又，Y)一。，Y)一，Yo)+厂(。，Yo)=／，Y)一／o，Yo)一tf(，Yo)-f(。，Y。)+。，Y)-f(。，Yo)】：，Y)一，(0，Yo)一[(0，Yo)(一0)+(戈0，Yo)(Y—Yo)+(一0)+(y—Y0)

8、1其中当(，Y)一(。，Yo)时，，卢一O。故厂(，，，)-f(。，Yo)一(。，Yo)(—。)-f,(。，)(Y—Yo)=O(p)+【(—。)+JB(—Yo)]=O(p)。由二元函数在一点可微的定义知，函数，Y)在Po(。，)，D)点可微。证毕。注：当，Y)在某点(。，Y。)的两个偏导数均为零时，则，(，Y)一厂(，Y。)=o(p)。定理2设函数，Y)在点P。(‰，Yo)的邻域U内有定义，则函数，(，Y)在点尸