浅谈多元函数的连续及可微-转

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1、浅析多元函数的连续及可微摘要：在学习多元函数以前，我们对于一元函数的认识都是非常熟悉的，对一元函数连续、可微之间的关系也都非常清楚.而多元函数是一元函数的推广，它具有比一元函数更复杂的性质.就一般的二元函数来说，学习数学分析之后，我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时，函数可微.首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数连续时，函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重

2、要概念间的进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系.在了解本文之后，读者会对多元函数有更深刻的认识！关键词：可微;偏导数;连续15目录1引言...............................................................12多元函数的连续、偏导数及可微..........................................12.1多元函数的连续性......................................

3、...........12.2多元函数的偏导数...................................................32.3多元函数的可微性..................................................42.4多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系.......................72.4.1二元函数连续性与偏导存在性间的关系............................72.4.2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系...

4、......................82.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系.............................103小结.................................................................11参考文献................................................................12致谢辞.............................................

5、.....................13151绪论在中学时，我们着重学习了一元函数，对于函数在极限存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的.比如说：可微一定连续，但连续不一定可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续等一些性质.简单表示为：可微连续极限存在(且不可逆).在什么条件下可逆，我们也都曾经学习过.对于多元函数而言，主要是讲二元函数，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性，是可以证明的.从二元函数的一些性质中，我们可以看到：若二元函数在点(,

6、)可微，则函数在点（，）连续，偏导存在；若二元函数的两个偏导数（x,y）与(x,y)在点（，）连续，则函数在（，）可微.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续可微(连续，偏导存在);它们反方向结论不成立.当然，其可逆也是需要一定条件的.本文主要是就他们之间的关系作简单的分析.大家都知道，多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有某些差异，而且情况也更复杂一些.在我们研究多元函数的连续、偏导、可微之间的相互关系时，需要注意许多方面的问题.下面我们分别从多元函数的可微性、

7、偏导存在性、连续性，进而到它们之间的关系进行具体的探讨.2多元函数的连续、偏导数及可微性2.1多元函数的连续性一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数来说，即使它在某点既存在关于x的偏导数，又存在关于y的偏导数，也未必在连续.甚至，即使在的某邻域存在偏导数（或），而且（或）在点连续，也不能保证在连续.如函数15关于具体验算步骤不难得出.不过，我们却有如下的定理.定理1设函数在点的某邻域内有定义，若作为y的一元函数在点y=连续，在内有界，则在点连续.证明任取，则（1）由于在存在，故

8、对于取定的，作为x的一元函数在以和为端点的闭区间上可导，从而据一元函数微分学中的Lagrange中值定理，存在，使=将它代入（1）式得（2）由于，故有界，因而当时，有又，据定理的条件知，在连续，故当时，又有所以，由（2）知，有15=0这说明在连续.同理可证如下的定理定理2设函数在点的某邻域有定义，在内有界，作为x的一