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1、第19卷第5期高等函授学报(自然科学版)Vol.19No.52005年10月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)October2005文章编号:1006-7353(2005)05-0034(11)-023偏导数存在、函数连续及可微的关系周良金,王爱国(襄樊学院数学系,湖北襄樊441053)摘要:本文讨论二元函数的偏导数存在、函数连续及可微之间的关系,用实例说明了它们的无关性与在一定条件下所具有的共性。关键词:连续;偏导数;可微中图分类
2、号:O172文献标识码:A二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是f(0+△x,0)-f(0,0)(0+△x)2+02-0=lim二元函数微分学的三个重要概念。对于学习数学△x△x→0△x分析的人来说,必须弄清三者之间的关系,才能学
3、△x
4、=lim,此极限不存在,好、掌握与之相关的理论知识。本文详细讨论这三△x→0△x个问题之间的关系.同理(0,0+△y)-f(0,0)lim也不存在。△y→0△y1.偏导存在函数连续对于一元函数而言,若f(x)在某点x0的导以上两例说明f(x,y)在某点(x0,y0)偏导数存
5、在,则它在该点一定连续,若f(x)在某点x0数存在,f(x,y)在点(x0,y0)可以不连续;f(x,连续,则它在该点的导数却不一定存在,即所谓y)在某点(x0,y0)连续,f(x,y)在点(x0,y0)偏的可导必连续,连续不一定可导。但对于二元函数导数也可能不存在。即f(x,y)在某点(x0,y0)偏来说,两者却没有必然的联系,即f(x,y)在某点导数存在与否,与其在该点是否连续无关。(x0,y0)偏导数存在与否,与其在该点是否连续2.函数连续函数可微无关。函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微是指x
6、y2222,x+y≠0,f(x,y)在该点的全增量△z与其全微分dz之差例1设f(x,y)=x+y则22220,x+x=0是关于ρ(ρ=(△x)+(△y))当△x→0,f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在,事实上△y→0时的高阶无穷小,即f′x(0,0)=limf(0+△x,0)-f(0,0)=0,5z5z△x→0△x△z=
7、(x0,y0)·△x+
8、(x0,y0)·5x5y′f(0,0+△y)-f(0,0)fy(0,0)=lim=0,△y+o(ρ).△y→0△y[1]从该定义可知,若函数z=f(x,y)在
9、点(x0,但f(x,y)在点(0,0)不连续.22y0)可微,则它在该点一定连续。但反之是不一定例2f(x,y)=x+y在点(0,0)连续,但它在点(0,0)处偏导数却不存在,事实上成立的。limf(x,y)=0=f(0,0),即f(x,y)=22例3f(x,y)=sinx+y在(0,0)连(x,y)→(0,0)2222x+y在点(0,0)连续,但lim续,但f(x,y)=sinx+y在(0,0)不可微,事△x→03收稿日期:2005-09-19作者简介:周良金(1953—),男,湖北枣阳人,襄樊学院数学系
10、副教授。主要从事高等数学教学及其研究工作。34第19卷第5期高等函授学报(自然科学版)Vol.19No.52005年10月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)October2005实上,(0,0)不可微。f(0+△x,0)-f(0,0)sin
11、△x
12、4.偏导存在且偏导函数连续可微lim=lim△x→0△x△x→0△x这个问题是说若函数z=f(x,y)的偏导函不存在,数在点(x0,y0)的某邻域内存在,且fx与fy在点f(0,0+△y)
13、-f(0,0)sin
14、△y
15、lim=lim(x0,y0)处连续(注意这时已包含f(x,y)在(x0,△y→0yx△x→0△yy0连续),则函数f在点(x0,y0)可微。也不存在,把全增量△z记作即该函数在(0,0)的偏导数是不存在的。△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)3.连续+偏导存在可微=[f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0+△y)]因为可微的表达式是由偏导给出的,故由可+[f(x0,y0+△y)-f(x0,y0)](1)微的定义知,函数f(x,y)在点(x0,y0)可微,则′
16、′第一个括号里部分是函数f(x,y0+△y)关fx(x0,y0),fy(x0,y0)必存在,且f(x,y)在点于x的偏增量;第二个括号里部分,则是函数(x0,y0)也必连续,但反之是不一定成立的。2f(x0,y)关于y的偏增量。对它们分别应用一元xy2222,x+y≠0,例4设f(x,y)=x+y函数的拉格朗日中值定理,得22△0,x+y=0z=fx(x0+θ1△x,y0+△y)△x+fy(x0,则f(x,y)在
