二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

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1、本科生毕业论文目录摘要……………………………………………………………………………………………1关键词…………………………………………………………………………………………1Abstract………………………………………………………………………………………1Keywords……………………………………………………………………………………1引言……………………………………………………………………………………………11二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义……………………………………………12二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系……

2、…………………………………22.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系………………………………………………22.2二元函数连续与可微之间的关系………………………………………………………32.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系………………………………………………32.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系………………………………………………4二元函数连续、偏导数、可微的关系图………………………………………………………6参考文献………………………………………………………………………………………7致谢………………………………………………………

3、……………………………………88本科生毕业论文二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词二元函数连续偏导数可微TheRelationshipamongContinuation,PartialDerivativesandDifferentiabilityinBinaryFunctionAbstractUnaryfunctiondifferentia

4、blewithderivativeequivalent,willbecontinuouslydifferentiable.Butthedualfunctionisnotthecase,thefollowingarticlegivesacontinuousfunctionoftwovariables,partialderivatives,canbesaidtherelationshipbetweenthem,andgivesasimpleshow,andillustratedwithexamplesrelatedbetweenthema

5、ndundercertainconditionshaveincommon..Keywordsbinaryfunctioncontinuationpartialderivativesdifferentiability引言二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1设为定义在点集上的二元函数，（或者是的聚点，或者是的孤立点），对于任给的正数，总存在相应的正

6、数，只要，就有，则称关于集合在点连续.定义2设函数，若且在的某一邻域内有定义，则当极限存在时，则称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作.定义3设函数在点某邻域内有定义，对于中的点，若函数在点处的全增量可表示为8本科生毕业论文，其中、是仅与点有关的常数，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微.2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系例在偏导数存在但不连续.证明因为，同理可知.所以在偏导数存在.因为极限不存在，所以在不连续.例在点连续，但不存在偏导数.证明因为，所以在点连续，因为,该极限不存在

7、，同理也不存在.所以在点连续，但不存在偏导数.此二例说明:二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导.2.2二元函数连续与可微之间的关系定理若在点可微，则在点一定连续.证明在点可微，(1)8本科生毕业论文所以当时，有，即在该点连续.例证明在点连续，但在点不可微.证明令，则.因为,所以在点连续.按偏导数定义,同理.若在点可微，则应是较高阶的无穷小量.因为该极限不存在,所以在点不可微.此例说明:二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一

8、元函数有相同的结论.2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的.证明因为在点可微，则.8本科生毕业论文若令上式中,则,所以.即.类似