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1、名教讲坛二元函数连续可微偏导之间的关系□李聚玲河北保定华北电力大学数理系[摘要]本文给出了二元函数在某点处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系,并进一步给出了可微的判别步骤。[关键词]二元函数连续可微偏导数一、引言二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。对于一元函数而言,函数y=(fx)在点x0处连续、导数例3(fx,y)=)x2+y2(圆锥)在点(0,0)连续但在该点存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连不存在偏导数。更值得注意的是,即使函数在某点存在对续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。对多元所有自变量的偏导数,也不能保证函数
2、在该点连续。函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复xy22,x+y≠0x2+y2杂的多。下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0)处连续、例4.f(x,y)$在点(0,0)不连续,但02+y2=0偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。,x二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之f(y0,0)=lim0-0=0,f(y0,0)=lim0-0=0。这是因为偏△y→∞△y△y→∞△y间的关系导数只是刻画了函数沿x轴或y轴方向的变化特征,所以1.可微与连续的关系这个例子只能说明f(x,y)在原点分别对x和对y连续,但由若函数(fx,y)在点(x0,
3、y0)处可微,则在该点连续,但此并不能保证f(x,y)作为二元函数在原点连续。反之不成立(同一元函数)。5.连续与偏导数连续之间的关系。证明:因为f(x,y)在点(x0,y0)处可微,因此有0≤由例4可知二元函数在某点连续时,偏导数不一定存f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)≤A△x+B△y+O(O)在,当然更谈不上偏导数连续了;反之若偏导数连续一定→(△x→0,△y→0),可微,从而可推出函数在该点一定连续。所以limf(x0+△x,y0+△y)=f(x0,y0),故(fx,y)在三、可微性判别步骤(△x,△y)→(0,0)点(x0,y0)处连续。反之
4、不成立。1.如果f在点(x0,y0)处不连续或偏导数不存在,则f在x2y点(x0,y0)处不可微。,x2+y2≠0x2+y2例1.f(x,y)=$在点(0,0)处连续,2.如果f在点(x0,y0)处连续,存在f(xx0,y0)、fy(x0,y0),则220,x+y=0f在点(x0,y0)处可微的充分必要条件是满足下列等价的任但在该点不可微。一式:2.偏导数存在与可微的关系(1)△z=(fx0+△x,y0+△y)-(fx0,y0)由定理17.1[1(]可微的必要条件),函数f(x,y)在点22=f(xx0,y0)△x+f(yx0,y0)△y+o()(△x)+(△y)
5、)(x0,y0)处可微,则f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数一定存在;(2)△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)但反之不成立,如例1中函数(fx,y)在点(0,0)处偏导数22=f(xx0,y0)△x+f(yx0,y0)△y+ε()(△x)+(△y))存在,但在此点不可微。其中ε→0(当△x→0△y→0时)3.偏导数连续与可微的关系由定理17.2[2(]可微的充分条件)知,函数f(x,y)在点(3)△z=(fx0+△x,y0+△y)-(fx0,y0)=f(xx0,y0)△x+f(yx0,y0)△y+ε1△x+ε2△y(x0,y0)处偏导数连续,
6、则f(x,y)在点(x0,y0)处可微;但反其中ε1→0,ε2→0(当△x→0,△y→0时)之不成立,四、结束语%1(’x2+y2)sin,x2+y2≠0’从以上讨论可以看出,二元函数连续、可微、偏导数之’x2+y2例2.f(x,y)=&在点(0,0)处’’间的关系比一元函数连续、导数存在、可微之间的关系要’22(0,x+y=0复杂得多,究其原因主要在于二元函数极限比一元函数极可微,但偏导数在点(0,0)不连续。限对自变量的要求更高、更为复杂。如对lim(fx)只要求4.连续与偏导数存在之间的关系x→x0下转2页3名教讲坛一种学习对另一种学习的影响不总是积极的,有
7、时侯题,使学生养成多角度、多方位处理问题的习惯。教师提出两种知识之间会产生干扰,学生不能很好的辨别二者的本的问题越多,学生思维越发散,理解越深刻,并通过对所提质区别,使得原有知识的学习阻碍了对新知识的正确理问题的解答而达到灵活迁移的目的。例如,函数与方程、不解,形成负迁移。教师在教学是可以适时抓住学生的错例,等式的结合向来是中考或高考的热点,教师可以通过设计通过对比,制造认知冲突,再加以巧妙点拨,让学生在明了变式训练把三者结合的恰到好处:二者区别的同时把握住函数的本质属性。原问题:要使关于x的方程kx2+(2k+1)x+(k-1)=0有案例:反函数是函数知识领域的
8、一个难点,
