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《二元函数连续可微偏导之间的关系解读》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、引言对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系1.可微与连续的关系若函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则在该点连续,但反之不成立(同一元函数。证明:因为f(x,y在点(x0,y
2、0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0,所以lim(△x,△y→(0,0f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在点(x0,y0处连续。反之不成立。例1.f(x,y=x2yx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0处连续,但在该点不可微。2.偏导数存在与可微的关系由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则f(x,y在点(x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,
3、如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。3.偏导数连续与可微的关系由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,则f(x,y在点(x0,y0处可微;但反之不成立,例2.f(x,y=(x2+y2sin1x2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=%’’’&’’’(0在点(0,0处可微,但偏导数在点(0,0不连续。4.连续与偏导数存在之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。例3f(x,y=x2+y2(圆锥在点(0,0连续但在该
4、点不存在偏导数。更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。例4.f(x,yxyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0不连续,但fy(0,0=lim△y→∞0-0△y=0,fy(0,0=lim△y→∞0-0△y=0。这是因为偏导数只是刻画了函数沿x轴或y轴方向的变化特征,所以这个例子只能说明f(x,y在原点分别对x和对y连续,但由此并不能保证f(x,y作为二元函数在原点连续。5.连续与偏导数连续之间的关系。由例4可知二元函数在某点连续时,偏
5、导数不一定存在,当然更谈不上偏导数连续了;反之若偏导数连续一定可微,从而可推出函数在该点一定连续。三、可微性判别步骤1.如果f在点(x0,y0处不连续或偏导数不存在,则f在点(x0,y0处不可微。2.如果f在点(x0,y0处连续,存在fx(x0,y0、fy(x0,y0,则f在点(x0,y0处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式:(1△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0=fx(x0,y0△x+fy(x0,y0△y+o((△x2+(△y2(2△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0
6、,y0=fx(x0,y0△x+fy(x0,y0△y+ε((△x2+(△y2其中ε→0(当△x→0△y→0时(3△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0=fx(x0,y0△x+fy(x0,y0△y+ε1△x+ε2△y其中ε1→0,ε2→0(当△x→0,△y→0时四、结束语从以上讨论可以看出,二元函数连续、可微、偏导数之间的关系比一元函数连续、导数存在、可微之间的关系要复杂得多,究其原因主要在于二元函数极限比一元函数极限对自变量的要求更高、更为复杂。如对limx→xf(x只要求二元函数连续可
7、微偏导之间的关系□李聚玲河北保定华北电力大学数理系[摘要]本文给出了二元函数在某点处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系,并进一步给出了可微的判别步骤。[关键词]二元函数连续可微偏导数下转2页名教讲坛3一种学习对另一种学习的影响不总是积极的,有时侯两种知识之间会产生干扰,学生不能很好的辨别二者的本质区别,使得原有知识的学习阻碍了对新知识的正确理解,形成负迁移。教师在教学是可以适时抓住学生的错例,通过对比,制造认知冲突,再加以巧妙点拨,让学生在明了二者区别的同时把握住函数的本质属性。案例:
8、反函数是函数知识领域的一个难点,许多同学在理解反函数概念时容易产生困惑。老师可以这样举例:请大家分别作出f(x=2x+3和它的反函数的图象。那么大多数学生会把它等价于作y=2x+3和x=y-32的图象,而且他们会认为这两个式子并没有本质的区别,因为他们把函数的反解与方程中的解未知数等同起来了,认为横坐标上的值就代表x的值,而纵坐标的值就代表y值,于是作出的图象是相同的。那么教师就要抓住函数与方程的本质区别,让学生知道我们这里考虑的对象是函数,它反映的是自变量与函数值的对应关系,在作反函数x=f-
