资源描述：
《讨论二元函数连续性_偏导存在性及可微性间的关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第23卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vol.23,No.22007第2期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系张鸿门艳红(哈尔滨师范大学阿城学院)(青岛飞洋职业技术学院)【摘要】通过具体实例对二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系进行讨论.关键词:连续性;偏导存在性;可微性22故函数f(x,y)=x+y在点(0,0)连续.0引言由偏导数定义:多元函数是一元函数的推广,因此它保留着f(0+Δx,0)-f(0,0)f
2、x(0,0)=lim=一元函数的许多性质,但也有某些差异,这些差异Δx→xΔx2主要是由于多元函数的“多元”(即自变量由一个Δx1,Δx>0,lim=故fx(0,0)不存在.同增加到多个)而产生的.对于多元函数我们着重Δx→xΔx-1,Δx<0.讨论二元函数,在掌握了二元函数的有关理论与理可证fy(0,0)也不存在.研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中1.2函数f(x,y)在点P0(x0,y0)偏导存在,但不去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、一定连续偏导存在性及可微性间的关系22.x+y,xy=0
3、例2函数f(x,y)=在点1,xy≠01二元函数连续性与偏导存在性间(0,0)处fx(0,0),fy(0,0)存在,但不连续.的关系证明由偏导数定义:f(0+Δx,0)-f(0,0)1.1函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续,但偏fx(0,0)=limΔx→xΔx导不一定存在.=limΔx=0,22Δx→x例1证明函数f(x,y)=x+y在点(0,同理可求得fy(0,0)=0.0)连续偏导存在.22因为limf(x,y)=lim(x+y)证明因为(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0)limf(x,y)
4、=0≠f(0,0)=1(x,y)→(0,0)22x+y,xy=0=limx2+y2=0=f(0,0)故函数f(x,y)=在点(0,0)处(x,y)→(0,0)1,xy≠0收稿日期:2006-11-08第2期讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系33不连续.f(x,y)的偏导在点P0(x0,y0)的某邻域内存在,综上可见,二元的连续性与偏导存在性间不且fx与fy在点P0(x0,y0)处连续,则函数f(x,y)存在必然的联系.在点P0(x0,y0)可微.注2:偏导连续是函数可微的充分而非必要2二元函数的可微性
5、与偏导存在性条件.例4证明函数间的关系221222.1可微与偏导存在(x+y)sin22,x+y≠0f(x,y)=x+y定理1(可微的必要条件)若二元函数f(x,220,x+y=0y)在其定义域内一点P0(x0,y0)处可微,则f在该在点(0,0)处可微,但fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)点关于每个自变量的偏导都存在,且df
6、(x)=0,y0点却间断.fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.22证明P(x,y):x+y≠0,有注1:定理1的逆命题不成立,即二元函数12x1f(x,y)在点P0(x
7、0,y0)处的偏导即使存在,也不fx(x,y)=2xsin22-22cos22x+yx+yx+y一定可微.12y1fy(x,y)=2ysin22-22cos22例3证明函数x+yx+yx+yxy22(1)当y=x时,极限limfx(x,x)=lim(2xsin,x+y≠0,x→0x→022f(x,y)=x+y111222-cos2)不存在,则fx(x,y)在(0,0)点间0,x+y=02xx2x在原点两个偏导存在,但不可微.断.同理可证fy(x,y)在(0,0)点间断.证明由偏导数定义:f(x,0)-f(0,0)
8、(2)因fx(0,0)=limx→0xf(0+Δx,0)-f(0,0)fx(0,0)=limΔx→xΔx1=limxsin2=0,0-0x→0x=lim=0,Δx→xΔxf(0,y)-f(0,0)fy(0,0)=lim同理可求得f(0,0)=0.x→0yy下面利用可微的定义来证明其不可微,用反=limysin1=02y→0y证法.若函数f在原点可微,则Δf-df=[f(0+Δx,0+Δy)-f(0,0)]-[f(0,0)dx+f(0,则df=fx(0,0)dx+fy(0,0)dy=0,xy2210ΔxΔy22Δf
9、=f(x,y)-f(0,0)=(x+y)sin22)dy]=,应是较ρ=Δx+Δy的x+y22Δx+Δy2122高阶无穷小量,为此考察极限=ρsin2(P(x,y):x+y≠0)ρΔf-dfΔxΔylim=lim22从而ρ→0ρρ→0Δx+Δy21当动点(x,y)沿直线y=mx趋于(0,0)时,ρsin2Δf-dfρ1则lim=lim=limρsin2=0,ρ→0ρρ→0
