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1、浅析多元函数的连续及可微摘要：在学习多元函数以前，我们对于一元函数的认识都是非常熟悉的，对一元函数连续、可微之间的关系也都非常清楚・而多元函数是一元函数的推广，它具冇比一元函数更复杂的性质•就一般的二元函数来说，学习数学分析之后，我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时，函数可微•首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数连续时，函数可微•然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的•本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，主
2、要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系•在了解木文之后，读者会对多元函数有更深刻的认识！关键词：可微；偏导数；连续目录1引言12多元函数的连续、偏导数及可微12.1多元函数的连续性12.2多元函数的偏导数32.3多元函数的可微性42.4多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系72.4.1二元函数连续性与偏导存在性间的关系72.4.2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系82.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系103小结11参考文献12致谢辞131绪论在中学时，我们着重学习了一元函数，对于函数y=/（兀）在心极限
3、存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的.比如说：可微一定连续，但连续不一淀可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续等一些性质•简单表示为：可微=＞连续=＞极限存在（且不可逆）•在什么条件下可逆，我们也都曾经学习过.对于多元函数而言，主要是讲二元函数，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系•但对于二元函数的可微性，是可以证明的•从二元函数的一些性质中，我们可以看到：若二元函数z=f（x,y）在点0（）（x（），儿）可微，则函数/（兀,y）在点p（）（兀（），儿）连续，偏导存在；若二元函数z=f（x,y）
4、的两个偏导数兀（x,y）与/；（x,y）在点几（勺，儿）连续，则函数/（兀，刃在几（兀°，儿）可微•因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续=＞可微=＞（连续，偏导存在）；它们反方向结论不成立•当然，其可逆也是需要一定条件的.本文主要是就他们之间的关系作简单的分析.大家都知道,但也有某些差杲,间的相互关系吋,多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质,而且情况也更复杂一些•在我们研究多元函数的连续、偏导、可微之需要注意许多方面的问题•下面我们分别从多元函数的可微性、偏导存在性、连续性,进而到它们Z间的关
5、系进行具体的探讨.2多元函数的连续、偏导数及可微性2.1多元函数的连续性一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续•但对于二元函数f（x,y）來说，即使它在某点几（弘儿）既存在关于x的偏导数人（忑,儿），又存在关于y的偏导数厶（兀（）,儿），/（兀,y）也未必在p0U（）,v0）连续.甚至，即使在几（兀（）,九）的某邻域〃（Po）存在偏导数fx（x）（或fy（x,y））,而S.fx（x,y）（或fy（x））在点pQ（xQ,yQ）连续，也不能保证f（x,y）在必区,％）连续•如函数.21nsinx+—,yHOvf（x,y）=
6、<'•丿0,y=0关于具体验算步骤不难得出•不过，我们却有如下的定理.定理1设函数/（x,y）在点卩0（兀0，儿）的某邻域U（Po）内有定义,若f（x0,y）作为y的一元函数在点y二儿连续，fx（x,y）在U（p.）内有界,贝〃（兀,刃在点PoOWo）连续・证明任取Oo+x,y0+y）wU（pQ,贝II/（兀。+兀,儿+y）-/Cwo）=/（兀。+兀,儿+y）—/O（）,y（）+刃+/（兀（）,儿+刃一/（兀（）,刃））⑴由于£（兀，歹）在t/（Po）存在,故对于取定的儿+y,/（x,>o+y）作为x的一元函数在以心和Xo+X为端点的闭区间上可导
7、，从而据一元函数微分学屮的Lagrange屮值定理，存在处（0,1）,使/（兀o+兀,儿+）'）一/（勺，儿+刃=£So+&x，）'o+刃兀将它代入（1）式得f（A）+兀,儿+）'）—/（%，儿）=/©）+〃兀，）‘（）+y）兀+/（兀（）」）+y）-/U（）o?（））⑵由于（Xo+Ox,）b+y）wU（p（J,故人Oo+O兀,儿+丁）有界，因而当（X,y）T（0,0）时,有人（兀（）+&兀,y（）+y）xtO又，据定理的条件知，f（x0,y）在y=y（）连续，故当（x,y）T（0,0）时,又有/*（兀0，儿+刃一代兀0，儿）—0所以，由（2）知
8、，有lim/（x0+x,y0+y）-/（兀（）,y（））=0xtOy->0这说明f（x,y）在（x0,y0）连续.同理可证如下的定理定理
