多元函数极值的充分条件.doc

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1、多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院数学系）我们知道，一元函数在点取得极值的充分条件是：函数在点处具有一阶二阶连续导数，是驻点，即。若，则为的极小值点（或极大值点）对于多元函数，其中，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。定义1.设元函数，其中，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称为的梯度，记作。引理设元函数，其中，对各自变量具有一阶连续偏导数，则在点取得极值的必要条件是：证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。定义2.设元函数，对各自变量具有二阶连续偏导数，是的驻点，现定义在点处的矩阵为：由于各二阶偏导数连续，即，所以为实对称矩

2、阵。定理设元函数，其中，具有对各自变量的二阶连续偏导数，是的驻点，则（1）当正定时，是的极小值点；（2）当负定时，是的极大值点；（3）当不定时，不是的极大值点证明：由在点处的泰勒公式其中，是其中，比高阶的无穷小对于驻点，由引理结果，则上述泰勒展开式又可写为：由此可见，当正定时，在点的某去心邻域内就有，即。故为的极小值点。同理可知：当负定时，为的极大值点：对不定时情况，本文不再详细讨论。