多元函数的极值

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1、第六节多元函数的极值一多元函数的极值二多元函数的最值三条件极值一多元函数的极值1极值的定义设函数在点的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点都有则称函数在点P0处取得极大值如果有则称函数在点P0处取得极小值函数的极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。例如函数在点（0，0）处取得极小值，如下左图：oxyzoxyz函数在点（0，0）处取得极大值，如上右图：如何求极值？如果能将有可能使函数取得极值的点找到，这个问题就基本解决了。2二元函数极值存在的必要条件定理1设函数在点处取得极值，且两个偏导数都存在，则在点有证明：因为是函数的极值，若固定则是一

2、个一元函数，则该函数在处取得极值，又因为对处可导，故同理可证将二元函数的两个偏导数为零的点称为驻点，则必要条件可叙述为：可微函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。3极值存在的充分条件定理1设函数在点的某个邻域内具有二阶连续的偏导数，且点是函数的驻点，即设则（1）当点是极值点，且时，点是极大值点，点是极小值点。且时，（2）当时，点不是极值点。（3）当时，是否为极值点。不能确定点总结：求极值的步骤：第一步：确定定义域（若未给出）；第二步：解方程组求得一切实数解，可得一切驻点。第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C。第四步：定出的符号，按充分条件的

3、结论做出结论。例1求函数的极值。解：此函数的定义域为解方程组解得驻点（0，1），又所以故函数在点（0，1）取得极小值，为0。例2求函数的极值。解：此函数的定义域为解方程组解得驻点P1(-1,-1)，P2(0,0)，P3(-1,-1)，又列表讨论如下：驻点参数P1（-1，-1）P2（0，0）P3（1，1）ABCB2-ACz10101010-2-2-2-2-2-96-960-2极小值0不能确定-2极小值例3求证函数有无穷多个极大值点而无一个极小值点。解：此函数的定义域为解方程组得又所以故当为奇数时，无极值。故当为偶数时，-2〈0，函数z有极大值，即当时，且A=函数

4、有极大值。由于取整数，所以函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值点。二多元函数的最值函数如果在有界闭区域D上连续，则一定在该区域上可以取得最大值和最小值。二元函数的最值，也可能在区域D内的驻点、不可微点或区域的边界上取得。求二元函数最值的方法是：将函数在所讨论的区域内的所有驻点的函数值，不可微点的函数值以及函数在区域边界上的最值相比较，其中的最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值。例4求函数在闭区域上的最值。解：由于函数z在区域D内处处可微，解方程组得驻点（6，-8），函数在该点处的值为在D的边界上，将代入函数中得由于所以在边界上函数的最大值为125，

5、最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上的最大值为125，最小值为-100。例5要制作一个中间是圆柱，两端为相等的圆锥形中空浮标，如图。在体积V是一定量的情况下，如何选择圆柱和圆锥的尺寸，才能使制作的材料最省？解：设圆柱的底面半径为，高为H，圆锥的高为，由题意得所以又定义域为解方程组解得驻点代入H的表达式得。从实际考虑，此浮标在体积V一定的条件下，存在最小的表面积。故制作时应取才能使制作材料最省。总结求实际问题的最值步骤如下：第一步：建立函数关系式，确定定义域；第二步：求出所有驻点；第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。三条件极值先看如下的例子：在的条件下，

6、求函数的极值。解：从中解出并代入中得这是一个一元函数，可用一元函数求极值的方法解，不难得到在点处取得极值为这类问题称为条件极值，称为约束条件。当把约束条件代入函数（称目标函数）时，条件极值化为无条件极值。对于条件极值问题，我们经常采用所谓——Lagrange乘数法，步骤如下：第一步：构造辅助函数（Lagrange函数）；第二步：解方程组第三步：判断所有驻点是否为极值点。例6某厂生产甲乙两种产品，计划每天的总产量为42件，如果生产甲产品件，生产乙产品件，则总成本函数为单位为元，求最小成本。解：约束条件为构造Lagrange函数：解方程组：得驻点（25，17）。由

7、于驻点是唯一的，所以在此点处函数取得最小值，即应计划每天生产甲产品25件，乙产品17件，才能取得最小的成本，为：C（25，17）=8×252-25×17+12×172=8043（元）这个方法还可以推广：（1）如：目标函数为：约束条件为：，可设Lagrange函数：然后解下面方程组讨论。（2）如目标函数为：约束条件有两个：可设Lagrange函数：然后解右侧方程组加以讨论。