多元函数的极值(1)

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1、第十八章多元函数的极值例1求函数在条件下的极值。解令得（1）又（2）（3）由（1）得，当时得，故得，代入（2）（3）式得解得稳定点，。由对称性得，也是稳定点。下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。1、通过判别最值来求极值注意约束集为单位圆，是有界闭集，故在其上必有最大（小）值，且最值必在稳定点达到。比较稳定点的函数值：，最大者为极大值，最小者为极小值。2、用无条件极值的充分性判别令，5则，故在点的某邻域，方程组可唯一地确定可微函数组。方程组两边对求导，得再求导，得将点代入，解得，，又，故是极小值

2、点，是极大值点。由的对称性知，是极小值点，是极大值点。极小值，极大值。3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时，所有变量是独立的，但应满足约束条件的微分在的关系式：[]因为5在点即又满足稳定点方程得故所以是极小值点。由的对称性知，也是极小值点。同理可证，是极大值点。极小值，极大值。例2将长度为的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分法，才能使这三个图形的面积之和最小。解设分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积满足约束，令解得5约束集为有界闭集，故在其上必

3、有最小值。在边界上，即解下列三个条件极值问题：稳定点分别是函数值分别是,,又，。比较上述7个函数值得，最小值为。下面再用无条件极值的充分性判别。约束条件可确定。方程两边分别对求导，得，，，，，，5故稳定点是极小值点。从而是最小值点。从几何上看，当是一常数时，是一椭球面，而约束条件给出一个平面在第一挂限的部分，如图示。当逐渐增大，首次与平面接触一点时，达到最小值。当继续增大时，的最大值必在平面与坐标轴的交点上达到。5