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时间:2018-12-25
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1、第十八章多元函数的极值例1求函数在条件下的极值。解令得(1)又(2)(3)由(1)得,当时得,故得,代入(2)(3)式得解得稳定点,。由对称性得,也是稳定点。下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。1、通过判别最值来求极值注意约束集为单位圆,是有界闭集,故在其上必有最大(小)值,且最值必在稳定点达到。比较稳定点的函数值:,最大者为极大值,最小者为极小值。2、用无条件极值的充分性判别令,5则,故在点的某邻域,方程组可唯一地确定可微函数组。方程组两边对求导,得再求导,得将点代入,解得,,又,故是极小值
2、点,是极大值点。由的对称性知,是极小值点,是极大值点。极小值,极大值。3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时,所有变量是独立的,但应满足约束条件的微分在的关系式:[]因为5在点即又满足稳定点方程得故所以是极小值点。由的对称性知,也是极小值点。同理可证,是极大值点。极小值,极大值。例2将长度为的铁丝分成三段,用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分法,才能使这三个图形的面积之和最小。解设分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积满足约束,令解得5约束集为有界闭集,故在其上必
3、有最小值。在边界上,即解下列三个条件极值问题:稳定点分别是函数值分别是,,又,。比较上述7个函数值得,最小值为。下面再用无条件极值的充分性判别。约束条件可确定。方程两边分别对求导,得,,,,,,5故稳定点是极小值点。从而是最小值点。从几何上看,当是一常数时,是一椭球面,而约束条件给出一个平面在第一挂限的部分,如图示。当逐渐增大,首次与平面接触一点时,达到最小值。当继续增大时,的最大值必在平面与坐标轴的交点上达到。5
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