多元函数的极值(复习

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1、§6.6多元函数的极值求具有二阶连续偏导数的二元函数的极值的步骤如下:①求出函数的所有驻点由解得的驻点；②根据极值的充分条件判定驻点是否为极值点对每一个驻点，求出二阶偏导数在该点的值1°当时，在点取得极值，时为极大值，时为极小值；2°当时，在点不取极值；3°当时，不能确定，需另作讨论。习题六（A）22．求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值：（1），；解：①求驻点由解得所以,,,为的驻点；②求二阶偏导数5不取极值不取极值不取极值是极值，时为极大值，时为极小值（2）解：①求驻点由解得，所以为的驻点；②求二阶偏导数为极小值24．某工厂生产甲、乙两种产品，产量各为x

2、、y，其成本函数为。由市场调查得知，甲、乙两种产品的单价与产量分别有如下关系：。5试求甲、乙两种产品产量各为多少时总利润最大？并求出最大利润。解：设L表示该工厂的利润，则。解方程组，得唯一驻点（4,2）。根据问题的实际意义，L必可取得最大值，因此这个最大值在（4,2）处取得。于是该工厂的最大利润为(元)。25．某厂家生产某种产品的成本是每件2元，另外每月再花广告费A元，则每月的销售量为，其中P为产品销售价格。求最合理的P和A值，使得工厂的纯利润最大。解：设L表示该工厂的利润，则L=x(P-2)-A。解方程组，得，得唯一驻点（12,1000ln3）。根据问题的实际意

3、义，L必可取得最大值，因此这个最大值在（12,1000ln3）处取得。故当P=12,A=1000ln3时工厂的纯利润最大。求函数在条件的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1)构造拉格朗日函数，其中为某一常数；(2)由方程组解出，其中驻点就是所求条件极值的可能的极值点。注：5拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论。不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点。习题六（A）26．某工厂生产A、B两种产品，A产品每件纯利6元，B产品每件纯利4元，制造x件产品与y件产品的成本函数为，而该

4、厂每日的制造预算是20000元。问应如何分配A、B两种产品的生产，使利润最大？解一：设该厂每日生产x件A产品、y件B产品。设L表示该工厂的利润，则。因此问题就是在条件，即下，求函数的最大值。作拉格朗日函数，求L的驻点，即解方程组，得唯一驻点（1500,8125）所以这个驻点就是所求的解。即该厂每日生产1500件A产品、8125件B产品时利润最大。最大利润为（元）。解二：设该厂每日生产x件A产品、y件B产品。设L表示该工厂的利润，则。因此问题就是在条件，即下，求函数的最大值。化为无条件极值求解。把代入得，即令，得唯一驻点。5根据问题的实际意义，L必可取得最大值，因此

5、这个最大值在处取得，此时。于是该厂每日生产1500件A产品、8125件B产品时利润最大，最大利润为（元）或（元）。5