多元函数条件极值的充分条件_于文恺.pdf

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1、天津轻工业学院学报1997年第1期No.11997JOURNALOFTIANJININSTITUTEOFLIGHTINDUSTRY[教学研究]
多元函数条件极值的充分条件于文恺张晓华(基础课部)(天津师范大学)本文拟利用有关的代数知识讨论条件极值的充分条件,给出由拉格朗日函数的海赛矩阵在约束集的线性锥上的正定性及目标函数f的有约束的海赛行列式的符号判定稳定点为极值点的两个充分条件。为叙述方便,采用如下符号:TT000Tx=(x1,x2,⋯,xn)
x=(
x1,
x2,⋯,
xn)=(x1-x1,x2-x2,,⋯,xn-xn)0=x-xT

2、f
f
f
f=,,⋯
x1
x2
xn222
f
f
f⋯
x1
x1
x1
x2
x1
xn222
f
f
f⋯2
x
f(x)=2
x1
x2
x2
x2
xn⋯⋯⋯⋯222
f
f
f⋯
xn
x1
xn
x2
xn
xn22称
f(x)为f在x处的海赛矩阵,当f∈c2时,
f(x)是对称矩阵。定理1设:n(i)f(x),gj(x),j=1,2⋯m(m

3、上恒有z
xL(x,
)z>0(<0);※则x是f(x)满足约束条件gj(x)=0,j=1,2,⋯m的严格局部极小(大)值点。这里mL(x,
)=f(x)+

jgj(x)j=1※※k证明:(反证法)若x不是严格局部极小值点,则存在收敛于x的点列{y},使得对每一个kk※f(y)≤f(x)kgj(y)=0,j=1,2,⋯mk※kkknkkk记y=x+
s,其中s∈IR,‖s‖=1,
>0,显然
→0(k→∞)。有界点列k※※k※{s}必有收敛于某个点s的子列,且‖s‖=1,不失一般性,我们设s→s(k→∞)。
收稿日期:1995-03-31

4、;1995-12-10收到修改稿第1期于文恺,等:多元函数条件极值的充分条件·65·根据泰勒定理有:k※kkTkgj(y)-gj(x)=(
s)
gj(
j)=0,j=1,2,m,(1)k※kkT※1k2kT2kk0=gj(y)=gj(x)+(
s)
gj(x)+(
)(s)
gj(
j)s,j=1,2,m,(2)2k※kkT※1k2kT0k0≥f(y)-f(x)=(
s)
f(x)+(
)(s)
gj(
)s,(3)2kk0k※其中:
j,
j及
都是联结y与x的直线段上的点。k※T※以
除(1)并令k→∞得(s)
gj(x)=0,j=1

5、,2,⋯mk※※即s∈z(x)且s≠0以
j乘(2)再与(3)相加,注意到条件(ii),有:m1k2kT202kT0≥(
)(s)(
f(
)+

j
gj(
j))s,(4)2j=1k2※T2※※※以(
)除(4)并令k→∞得(s)
x(x,
)s≤0这与题设(iii)矛盾,故定理得证。※nT※点集z(x)={z
z∈IR,z
gj(x)=0,j=1,2,⋯m}是锥。称之为约束集:X={x
gj(x)=0,j=1,2,⋯m}的线性化锥。定理1的几何意义是:※※在L(x,
)的稳定点(x,
)处,若L(x,
)关于x的海赛矩阵在约束集的线性

6、化※※锥z(x)上正定(并不需要原来的空间正定)则x就是f的约束极小值点。应用定理1需要考虑在线性约束下二次型的正(负)定问题,为此,引用如下代数[1]定理:引理:设A=[dij]n×n为实对称矩阵。B=[
ij]n×m(m0,P=m+1,⋯nBpm0AppBpm

7、p(ii)(·
·)为负
(-1)detT>0,P=m+1,⋯nBpm0定理2,设(i)f(x),gj(x)J=1,2,⋯m(m

8、)det※※>0
g1(x)
g1(x)⋯0⋯0
x1
xp



※※
gm(x)
gm(x)⋯0⋯0
x1
xp其中p=m+1,⋯n※则在条件gj(x)=0,j=1,2,⋯m