多元函数的条件极值ppt课件.ppt

《多元函数的条件极值ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4条件极值一、问题引入例1要设计一个容积为V的长方形无盖水箱,试问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到最小?若设长、宽、高各等于x,y,z,则目标函数:约束条件:例2设曲线求此曲线上的点到原点距离之最大、最小值.对此问题有目标函数:约束条件:定义设目标函数为约束条件为如下一组方程:为简便起见,记并设若存在则称是在约束条件之下的极小值称是相应的极小值点二、拉格朗日乘数法先从n=2,m=1的最简情形说起,即设目标函数与约束条件分别为若由确定了隐函数则使得目标函数成为一元函数再由求出稳定点在此点处满足极值点必满足在点处恰好满足:通过引入辅助函数把条件极值问题(

2、1)转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.拉格朗日乘数法引入辅助函数称此函数为拉格朗日函数,其中称为拉格朗日乘数.定理18.6设上述条件极值问题中的函数在区域D上有连续一阶偏导数.若D的内点是该条件极值问题的极值点,且则存在m个常数使得个方程的解:为拉格朗日函数(3)的稳定点,即它是如下当n=2,m=1时引入辅助函数极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域内限制.对自变量除定义域内限制外,还有其它条件限制.例如,转化★求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)方法2拉格朗日乘数法.推广:拉格朗日

3、乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.例如,求函数下的极值.解方程组解:如图,解2用拉格朗日乘数法解解方程组得：例2.求曲面与平面解：设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:到平面之间的最短距离.令得唯一驻点：根据问题的实际意义,知例3.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点因此,当高为所用材料最省.P169:1(1)(3)(10数学一,二)习题提示：()提示:由题设解切线方程：法平面方程：设

4、函数与均可微且则下列结论正确的是()（A）若则2006研已知是在约束条件下的一个极值点，（B）若则（C）若则（D）若则D例9：提示：满足方程组(10数三)(08数学二，四)