高数(多元函数的极值和条件极值).ppt

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1、一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值§9.8-9.9多元函数的极值及条件极值1一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有2说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且

2、在该点取得极值,则有存在故3时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数4例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数5在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;6例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们

3、的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为7例(最小二乘法)在实际问题中，常常要从一组观测数据(xi,yi)(i=1,,n)出发，预测函数y=f(x)的表达式．从几何上看，就是由给定的一组数据(xi,yi)(去描绘曲线y=f(x)的近似图形，这条近似的曲线称之为拟合曲线，要求这条拟合曲线能够反映出所给数据的总趋势(参看下图).作曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种，它是根据实际数据采用一种“直线拟合”:

4、的方法,也就是用线性函数来作逼近．8假定所给的数据点(xi,yi)(的分布大致成一条直线，设它的方程为y=ax+b其中系数a、b待定.将xi代入直线方程，得这与实测到的值yi有偏差称=(a,b)为平方总偏差.现在求a,b，使得平方总偏差达到最小，则所得直线y=ax+b就是所给数据的最佳拟合直线.作偏差的平方和9由极值的必要条件，有于是得到a、b所满足的方程由此方程组解出a、b，则y=ax＋b就是所要求的直线方程.10二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点(假

5、设f可微)边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据11例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.12例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形

6、的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面13令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.14三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化15方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有16引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必

7、满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.17推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件18例5.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问19得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:

8、利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.20内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法21设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域