多元函数的极值与条件极值

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1、6-6多元函数的极值及其求法三、条件极值拉格朗日乘数法一、多元函数的极值二、多元函数的最大值和最小值1、二元函数极值的定义一、多元函数的极值设函数),(yxfz=在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内任何异于的点),(yx若满足不等式),(),(00yxfyxf<，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf>则称函数在),(00yx有极小值。极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点),(00yx例1例２例３处有极小值．在函数)0,0(4322yxz+=处有极大值．在函数)0,0(22yxz+-=处无极值

2、．在函数)0,0(xyz=2、多元函数取得极值的条件证不妨设定理1（必要条件）设函数),(yxfz=在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00=yxfx，0),(00=yxfy.),(yxfz=在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意都有<),(yxf),(00yxf,推广如果三元函数),,(zyxfu=在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为：0),,(000=zyxfx，0),,(000=zyxfy，0),,(000=zyxfz

3、.说明一元函数),(0yxf在0xx=处有极大值,必有0),(00=yxfx;故当0yy=，0xx¹时，有<),(0yxf),(00yxf,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？例如,点)0,0(是函数xyz=的驻点，但不是极值点.定理2（充分条件）设函数),(yxfz=在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，驻点：凡是能使fx(xy)0fy(xy)0同时成立的点(x0y0)称为函数zf(xy)的驻点提示1.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点2.函数的驻点不一定是极值点又0),(00=yxfx,0),(00=yxfy

4、，令Ayxfxx=),(00，Byxfxy=),(00，Cyxfyy=),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02>-BAC时具有极值，当0A时有极小值；（2）02<-BAC时没有极值；（3）02=-BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．解例4求函数的极值先解方程组求得驻点为将上方程组再分别对yx,求偏导数,在点处，又所以函数在处有极小值在点处，所以不是极值；在点处，所以不是极值；在点处，又所以函数在处有极大值求函数),(yxfz=极值的一般步骤：第一步解方程组求出实数解，得驻点.第二步

5、对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC-的符号，再判定是否是极值.求极值的步骤总结与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数不存在。假设函数在D上连续，偏导数存在且驻点只有有限个，则求最值的一般步骤为：1、求函数在D内部所有驻点处的函数值；2、求在D的边界上的最大值和最小值；3、将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.二、多元函数的最大值和最小值解如图,解设水箱的长为宽为则

6、其高应为则水箱所用材料的面积求偏导数得例6某工厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解这方程组，得根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域内取得。又函数在内只有唯一的驻点因此当时，取得最小值。即当水箱的长为宽为高为时，水箱所用的材料最省。实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，且效果函数为U(x,y)=lnx+lny．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的

7、极值点．三、条件极值拉格朗日乘数法1.条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值.上述问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题,这是一个条件极值问题.例如,求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三棱的长为x,y,z,则体积Vxyz.又因假定表面积为a2,所以自变量x,y,z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2.要找函数),(yxfz=在条件0),(=yxj下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxFlj+=其中l为某一常数，可由ïîïíì==+=+.0),(,0),(),(,0

8、),(),(yxyxyxfyxyxfyyxxjljlj解出l,,y