《多元函数的概念》PPT课件.ppt

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1、第七章多元函数微分本节学习多元函数的概念﹑多元函数的极限和连续性，重点在二元函数。（1）邻域平面区域的概念7.1多元函数的概念（2）区域例如，即为开集．设D是开集。如果对于D内任何两点，都可以用折线连接起来，且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通区域，简称为区域或开区域。例如，例如，有界闭区域；无界开区域．例如，二元函数的定义与几何意义1．定义（二元函数）：设点集DR2，对于P(x，y)∈D，变量z按照一定法则总有确定的值与之对应，则称z是变量x﹑y的二元函数（或称点P的函数）记为z=f(x,y)（或z=f(P)）定义域：D（点集）自变量：x﹑y因变量：z值域：oxyzP0

2、z02.定义域：⑴用解析式表示的二元函数，其定义域是使该式有意义的点的集合（区域）（有特殊说明除外）；例如：oxyD1D1⑵表达实际意义的多元函数，定义域由实际意义确定。例如：圆柱体体积oRhD3．二元函数的几何意义则空间点集称为的图形——一张曲面例如：①oxyzZ=f(x,y)yxz0D②——球心在(0，0，0)，半径为R的上半球球面③——顶点在原点，位于xoy面上方的圆锥面ROxyzoxyzSS二元函数的极限1．表述定义：设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义（点P0可以除外），P(x,y)是该邻域内异于P0的任意一点，如果当点P以任何方式趋近于点P

3、0时，函数的对应值f(x,y)趋近于一个确定的常数A，我们称A是函数z=f(x,y)当x→x0﹑y→y0时的极限，记为或2.分析定义：设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义（点P0可以除外）,A为确定常数，若对于>0，>0，使当的一切点P(x,y)(≠P(x0,y0))，恒有成立，则称A为z=f(x,y)当P→P0(x→x0,y→y0)时的极限，记为或。P0．P[注记]：①P→P0的方式必须是任意的。例如，考察当(x，y)→(0，0)时的极限的存在性。(x，y)沿y=kx趋于(0，0)时,有f(x,y)→确定常数y=kx0xy在P→P0的某一种方

4、式下，f(x,y)→A，不能断定函数极限存在。但是在P→P0的不同方式下，f(x,y)趋于不同的值，则可断定极限不存在。②在已知函数极限存在的前提下，可取P→P0的某种特殊方式求极限。③一元函数极限的运算法则等，适于二元函数情形。例：讨论下列极限二元函数的连续性1．定义（二元函数连续）:设z=f(x,y)在P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续，P0为连续点否则称f(x,y)在点P0间断，P0为间断点。在点(0，0)间断例如：[注记]：1、f(x,y)在P0连续，满足三个条件，缺一不可：①f(x,y)在P0有定义f(x0,y0);②③

5、2.f(x,y)在D上连续的几何意义（曲面无孔隙﹑无裂缝…）3．二元初等函数在定义区域内连续4．若则5．有界闭区域上二元连续函数的性质：⑴最值存在性：⑵介值点存在性：⑶有界性：M>0，使第七章作业P241(2)(3)(6)2(2)3(2)(3)4(1)(3)5(2)(3)6(1)(4)7(1)(2)8(1)910(1)11(2)131516172题补：