多元函数的基本概念ppt课件.ppt

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1、§1多元函数的基本概念一、多元函数的概念以前我们接触到的函数y=f(x)有一个特点,就是只有一个自变量,函数y是随着这一个自变量的变化而变化的.我们称为一元函数.如y=sinx,y=x2+3cosx等.所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数.函数y随多个自变量的变化而变化.圆柱体体积V=r2h体积V随r,h的变化而变化.一对数(r,h),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给长方体体积V=xyzV随x,y,z的变化而变化.一组数(x,y,z),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给这些都是多元函数的例子.有二个自变量的称为二元函数.有三个自变量的称为三元

2、函数,…,有n个自变量的称为n元函数.与一元函数类似,我们有二元函数定义设D是xy平面上的一个点集,即DR2,若对任意的点X=(x,y)DR2,按照某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的二元实值函数,记作f:DR,X=(x,y)z称z为点X=(x,y)在f下的像,记作f(X)或f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也称作X=(x,y)所对应的函数值.称D为函数f的定义域.D在f下的像集f(D)={f(X)

3、XD}称为f的值域.习惯上,称z=f(X)=f(x,y)为二元函数,另外,称x,y为自变量,z为因变量.比如z=s

4、inx+cosy,z=3x2+ey.注1.一般说来,自变量x,y都是独立变化的.它们只受到(x,y)D的限制.f(x,y)的表达式,算f(x0,y0)的方法与一元函数类似.另外,若给出了注2.特别,若定义域D是xy面上一条曲线.D:y=g(x).则二元函数z=f(x,y)=f(x,g(x))成为一元函数.g事实上,xD上的点(x,g(x))=(x,y)z.f注3.任何一个一元函数都可扩充为一个二元函数.事实上,z=f(x)=f(x)+0·y只须将z作为一元函数的定义域DR扩充为R2中点集即可.注2,注3说明二元函数是一元函数的推广,而一元函数则是二元函数的

5、特殊情形.一元函数是定义在xy面上一条直线(x轴)上的二元函数.类似的,有n元函数定义.设DRn,若对任意的X=(x1,x2,…,xn)DRn,按某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的n元实值函数.记作f:DR,X=(x1,x2,…,xn)z.并记z=f(X),或z=f(x1,x2,…,xn).n元函数定义注4.定义中，当x,y的值取定后，z的取值就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是唯一的，这时我们称z=f(x,y)为单值函数；但有时候取值是不唯一的，这时我们称之为多值函数；例如一般情况，我们讨论的函数都是单值函数，如果是

6、多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。注5.二元函数的定义域（1）z=f(x,y)中，确定出x和y的取值范围；例如其中定义域为（2）z=f(x,y)中，使得z有确定取值的(x,y)的取值范围；例如其中定义域为注6.两个二元函数相等即：f(x,y)=g(x,y)充要条件是定义域相等且对应法则也必须相等。注7.二元函数的几何意义二元函数的图形是一张曲面，其定义域D正是这个曲面在xoy面上的投影区域。（其图形见下页）如z=ax+by+c,表平面.解:与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.例1求z=ln(x+y)的定义域D,并画出D的图形.

7、x+y>0.故定义域D={(x,y)

8、x+y>0}画直线y1=–x.由于D中点(x,y)的纵坐标y要大于直线y1=–x上点的纵坐标y1,故D表示直线y1=–x上方点的集合.(不包括边界y1=–x上的点)为画D的图形,由x+y>0,得y>–x=(y1).x+y=0xyo如图y>–xD(不包括直线x+y=0)例2解:故故D表示到原点距离不超过1的点的集合.即,D为单位圆盘(包括圆周).xyox2+y2=1(包括圆周)D例如求函数的定义域.此定义域为以原点为圆心的环形.解：有意义.须使我们知道，任意实数x与数轴上点P有一一对应关系，x即为点P的坐标。实数全体表示数轴上一

9、切点的集合，此集合即为R1,叫做一维空间；任意一个实二元有序数组(x,y)与平面上点P一一对应，所以实二元数组(x,y)表示平面上一切点的集合，此集合即为R2，叫做二维空间；任意一个实二元有序数组(x,y,z)与平面上点P一一对应，所以实二元数组(x,y,z)表示平面上一切点的集合，此集合即为R3，叫做三维空间；一般地，我们称n元有序数组(x1,x2,…,xn)的全体称为n维空间，而且每个(x1,x2,…,xn)表示n维空间点，记为P(x1,x2,…,xn)，数xi叫点P的第i个坐标，n维空间记为Rn。二、平面区域和平面点集n维空间的两点P(x1,x2,…,xn)

10、和Q(y1