多元函数的基本概念课件.ppt

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1、§8.1多元函数的基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性提示：一、平面点集n维空间1.平面点集坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E{(xy)

2、(xy)具有性质P}集合R2RR{(xy)

3、xyR}表示坐标平面一、平面点集n维空间1.平面点集坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E{(xy)

4、(xy)具有性质P}例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C{(xy)

5、x2y2

6、

7、OP

8、r}其中P表示坐标为(xy)的点

9、OP

10、表示点P

11、到原点O的距离注：设P0(x0y0)是xOy平面上的一个点是某一正数点P0的邻域记为U(P0)它是如下点集邻域如果不需要强调邻域的半径则用U(P0)表示点P0的某个邻域点P0的某个去心邻域记作任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种点与点集之间的关系内点如果存在点P的某一邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的内点外点如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的外点边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点边界点内点外点提问E的内点、外点、边界点是否都必

12、属于E？E的边界点的全体称为E的边界记作E聚点有E中的点则称P是E的聚点点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E{(xy)

13、1x2y22}满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点开集如果点集E的点都是内点,则称E为开集.闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集举例点集E{(xy)

14、1

15、y)

16、1x2y22}是闭集也是闭区域点集E{(xy)

17、1x2y22}既非开集也非闭集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域>>>连通性有界集对于平面点集E如果存在某一正数r使得EU(Or)其中O是坐标原点则称E为有界点集无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集点集{(xy)

18、xy1}是无界闭区域点集{(xy)

19、xy1}是无界开区域举例点集{(xy)

20、1x2y24}是有界闭区域我们把n元有序实数组(x1x2xn)的全体所构成的集合记为Rn

21、即RnRRR{(x1x2xn)

22、xiRi12n}2.n维空间x(x1x2xn)称为Rn中的一个点或一个n维向量xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量0(000)称为Rn中的原点或n维零向量我们把n元有序实数组(x1x2xn)的全体所构成的集合记为Rn即RnRRR{(x1x2xn)

23、xiRi12n}线性运算设x(x1x2xn)y(y1y2yn)为Rn中任意两个元素R规定xy(x1y1x2

24、y2xnyn)x(x1x2xn)这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间2.n维空间注：Rn中点x(x1x2xn)和点y(y1y2yn)间的距离记作(xy)规定两点间的距离Rn中元素x(x1x2xn)与零元0之间的距离(x0)记作

25、

26、x

27、

28、即在R1、R2、R3中通常将

29、

30、x

31、

32、记作

33、x

34、.显然设x(x1x2xn)a(a1a2an)Rn如果

35、

36、xa

37、

38、0则称变元x在Rn中趋于固定元a记作xa显然xax1a1x2a2xn

39、anRn中变元的极限平面点集中各种概念的推广平面点集的一系列概念可以方便地引入到n(n3)维空间中来例如设aRn是某一正数则n维空间内的点集U(a){x

40、xRn(xa)}就定义为Rn中点a的邻域注：二、多元函数概念二元函数的定义设D是R2的一个非空子集称映射fDR为定义在D上的二元函数通常记为zf(xy)(xy)D(或zf(P)PD)其中D称为该函数的定义域xy称为自变量z称为因变量函数值与自