《多元函数的概念》PPT课件.ppt

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1、第七章多元函数微分本节学习多元函数的概念﹑多元函数的极限和连续性,重点在二元函数。(1)邻域平面区域的概念7.1多元函数的概念(2)区域例如,即为开集.设D是开集。如果对于D内任何两点,都可以用折线连接起来,且该折线上的点都属于D,则称开集D是连通区域,简称为区域或开区域。例如,例如,有界闭区域;无界开区域.例如,二元函数的定义与几何意义1.定义(二元函数):设点集DR2,对于P(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确定的值与之对应,则称z是变量x﹑y的二元函数(或称点P的函数)记为z=f(x,y)(或z=f(P))定义域:D(点集)自变量:x﹑y因变量:z值域:oxyzP0

2、z02.定义域:⑴用解析式表示的二元函数,其定义域是使该式有意义的点的集合(区域)(有特殊说明除外);例如:oxyD1D1⑵表达实际意义的多元函数,定义域由实际意义确定。例如:圆柱体体积oRhD3.二元函数的几何意义则空间点集称为的图形——一张曲面例如:①oxyzZ=f(x,y)yxz0D②——球心在(0,0,0),半径为R的上半球球面③——顶点在原点,位于xoy面上方的圆锥面ROxyzoxyzSS二元函数的极限1.表述定义:设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义(点P0可以除外),P(x,y)是该邻域内异于P0的任意一点,如果当点P以任何方式趋近于点P

3、0时,函数的对应值f(x,y)趋近于一个确定的常数A,我们称A是函数z=f(x,y)当x→x0﹑y→y0时的极限,记为或2.分析定义:设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义(点P0可以除外),A为确定常数,若对于>0,>0,使当的一切点P(x,y)(≠P(x0,y0)),恒有成立,则称A为z=f(x,y)当P→P0(x→x0,y→y0)时的极限,记为或。P0.P[注记]:①P→P0的方式必须是任意的。例如,考察当(x,y)→(0,0)时的极限的存在性。(x,y)沿y=kx趋于(0,0)时,有f(x,y)→确定常数y=kx0xy在P→P0的某一种方

4、式下,f(x,y)→A,不能断定函数极限存在。但是在P→P0的不同方式下,f(x,y)趋于不同的值,则可断定极限不存在。②在已知函数极限存在的前提下,可取P→P0的某种特殊方式求极限。③一元函数极限的运算法则等,适于二元函数情形。例:讨论下列极限二元函数的连续性1.定义(二元函数连续):设z=f(x,y)在P0(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续,P0为连续点否则称f(x,y)在点P0间断,P0为间断点。在点(0,0)间断例如:[注记]:1、f(x,y)在P0连续,满足三个条件,缺一不可:①f(x,y)在P0有定义f(x0,y0);②③

5、2.f(x,y)在D上连续的几何意义(曲面无孔隙﹑无裂缝…)3.二元初等函数在定义区域内连续4.若则5.有界闭区域上二元连续函数的性质:⑴最值存在性:⑵介值点存在性:⑶有界性:M>0,使第七章作业P241(2)(3)(6)2(2)3(2)(3)4(1)(3)5(2)(3)6(1)(4)7(1)(2)8(1)910(1)11(2)131516172题补:

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1、第七章多元函数微分本节学习多元函数的概念﹑多元函数的极限和连续性,重点在二元函数。(1)邻域平面区域的概念7.1多元函数的概念(2)区域例如,即为开集.设D是开集。如果对于D内任何两点,都可以用折线连接起来,且该折线上的点都属于D,则称开集D是连通区域,简称为区域或开区域。例如,例如,有界闭区域;无界开区域.例如,二元函数的定义与几何意义1.定义(二元函数):设点集DR2,对于P(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确定的值与之对应,则称z是变量x﹑y的二元函数(或称点P的函数)记为z=f(x,y)(或z=f(P))定义域:D(点集)自变量:x﹑y因变量:z值域:oxyzP0

2、z02.定义域:⑴用解析式表示的二元函数,其定义域是使该式有意义的点的集合(区域)(有特殊说明除外);例如:oxyD1D1⑵表达实际意义的多元函数,定义域由实际意义确定。例如:圆柱体体积oRhD3.二元函数的几何意义则空间点集称为的图形——一张曲面例如:①oxyzZ=f(x,y)yxz0D②——球心在(0,0,0),半径为R的上半球球面③——顶点在原点,位于xoy面上方的圆锥面ROxyzoxyzSS二元函数的极限1.表述定义:设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义(点P0可以除外),P(x,y)是该邻域内异于P0的任意一点,如果当点P以任何方式趋近于点P

3、0时,函数的对应值f(x,y)趋近于一个确定的常数A,我们称A是函数z=f(x,y)当x→x0﹑y→y0时的极限,记为或2.分析定义:设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义(点P0可以除外),A为确定常数,若对于>0,>0,使当的一切点P(x,y)(≠P(x0,y0)),恒有成立,则称A为z=f(x,y)当P→P0(x→x0,y→y0)时的极限,记为或。P0.P[注记]:①P→P0的方式必须是任意的。例如,考察当(x,y)→(0,0)时的极限的存在性。(x,y)沿y=kx趋于(0,0)时,有f(x,y)→确定常数y=kx0xy在P→P0的某一种方

4、式下,f(x,y)→A,不能断定函数极限存在。但是在P→P0的不同方式下,f(x,y)趋于不同的值,则可断定极限不存在。②在已知函数极限存在的前提下,可取P→P0的某种特殊方式求极限。③一元函数极限的运算法则等,适于二元函数情形。例:讨论下列极限二元函数的连续性1.定义(二元函数连续):设z=f(x,y)在P0(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续,P0为连续点否则称f(x,y)在点P0间断,P0为间断点。在点(0,0)间断例如:[注记]:1、f(x,y)在P0连续,满足三个条件,缺一不可:①f(x,y)在P0有定义f(x0,y0);②③

5、2.f(x,y)在D上连续的几何意义(曲面无孔隙﹑无裂缝…)3.二元初等函数在定义区域内连续4.若则5.有界闭区域上二元连续函数的性质:⑴最值存在性:⑵介值点存在性:⑶有界性:M>0,使第七章作业P241(2)(3)(6)2(2)3(2)(3)4(1)(3)5(2)(3)6(1)(4)7(1)(2)8(1)910(1)11(2)131516172题补:

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