多元函数的概念.ppt

《多元函数的概念.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第九章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、预备知识1.平面点集n维空间一元函数平面点集n维空间实数组(x,y)的全体,即建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作(1)平面点集二元有序1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为2.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点

2、P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域

3、连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无P61题1.n元有序数组的全体n维空间中的每一个元素称为空间中称为该点的第k个坐标.n维空间中两点的距离定义为n维空间中点记作及的邻域为*3.n维空间n维空间.称为即的一个点,二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面

4、积的海伦公式定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.二元函数的几何意义二元函数的图形通常是一张曲面.P61题2.45.(3),(5)解答提示:P61题2.称为二次齐次函数.P61题4.P61题5(3).定义域P61题5(5).定义域练习.求函数的连续域.解:三、多元函数的极限定义2.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时

5、,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切例1.设求证:证:故总有要证讨论二元函数怎样描述呢?OxyP(x,y)趋向于P0(x0,y0)的回忆:一元函数的极限路径又是多种多样的.方向有任意多个,Oxy若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线x轴趋于点(0,0)时,在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.例2.讨论函数函数又P(x,y)沿直线y轴趋于点(0,0)时,解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k值不同极限不同!在(0,0)点极

6、限不存在.例2.讨论函数多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似.解例3四、多元函数的连续性定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周P62题8.间断点集多元连续函数的和、差、积仍为连续函数连续函数的商在分母不为零处仍连续多元连续函数的复合函数也是连续函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的多元初等函数的连续性例4解因为P0(12)为D的内点所以D{(xy)

7、x0

8、y0}解:原式例5.求定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:内容小结1.区域邻域:区域连通的开集2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P61题2;4;5(3),(5)(画图);8P129题3;*4思考与练习P129题3.定义域P129题*4.令y=kx，若令,则可见

9、极限不存在