多元函数概念课件.ppt

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1、重点多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。难点复合函数求导，多元函数极值。第八章多元函数微分法及其应用（1）邻域一、多元函数的概念说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为第一节、多元函数的基本概念（2）一些基本概念1、内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含属于E的点也含不属于E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属

2、于E,也可能不属于E.内点外点边界点2、聚点若对点P的任一去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.说明：内点一定是聚点；边界点可能是聚点,也可能不是聚点；点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．思考：边界点一定是聚点？D3、开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集E的余集EC为开集,则称E为闭集；若点集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通集;连通的开集称为开区域,简称区域;。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;对于平面点集E,若存在正数r,使得EU（O，r），其中O是坐标原点

3、，则称E为有界集,界集.否则称为无例如，在平面上开区域闭区域开集、不是区域整个平面是最大的开域,也是最大的闭域；（3）n维空间n元有序数组的全体,中的每一个元素称为的称为该点的第k个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.定义了线性运算的集合称为n维空间的距离记作中点a的邻域为规定为与零元O的距离为（4）二元函数的定义例1求的定义域．解:即所求定义域为D={(x,y)

4、2x2+y24,x>y2}.（5）二元函数的图形（如右图）二元函数的图形通常是一张曲面.二、多元函数的极限定义设函数的定义域为是其聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正

5、数，总存在正数，使得当时都有成立，则称A为函数当，时的极限，记为（或也记作或（1）所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。——这是与一元函数极限的本质差异。（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，并具有如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等性质。说明：证当时，原结论成立．例2用定义证明例3:求极限解:其中所以证:取其值随k的不同而变化.故极限不存在.例4:证明不存在.练习：证明不存在．确定极限不存在的方法：（2）找一种趋近方式，使也可断言在点处极限不存在．不趋于

6、任何值，则※当P(x,y)趋于(0,0)时，经常选特殊路径y=kx,若在此路径下，f(x,y)趋于与k有关的值，则可断言极限不存在。三、多元函数的连续性例5讨论函数在(0,0)的连续性．多元初等函数：由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例6求四、有界闭区域上连续函数的性质（1）有界性与最大值最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。（2）介值定理在有界闭区域D上的

7、多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值．多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念有界闭区域上连续函数的性质五、小结思考题若点(x,y)沿着无数多条平面直线趋向于点(x0,y0)时,函数f(x,y)都趋向于A,能否断定思考题解答不能.例如则但是不存在.原因为,若取x=y2,取y=kx,(x,y)(0,0),求二元函数极限常用的方法：利用连续函数的定义及初等函数的连续性；利用极限的性质，如：极限的四则运算法则及夹逼准则等；转化成一元函数的极限问题，利用一元函数求极限的方法；利用无穷小量与有界量的乘积仍然是无穷小量；利

8、用重要极限；一元函数中的两个重要极限可以推广为：消去分子分母中极限为0的因子；（分子分母有理化）利用等价无穷小代换；※二元函数求极限没有洛必达法则。练习：思考题：1、一个点集不是开集就是闭集吗？2、单点集是开集还是闭集？作业P115(2),(4),(6)6,7，9若,则_________.思考题：练习题练习题答案