等约束条件下多元函数条件极值的充分条件

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1、第３２卷第２期云南师范大学学报Ｖｏｌ．３２Ｎｏ．２２０１２年３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｕｎｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＭａｒ．２０１２＊等约束条件下多元函数条件极值的充分条件杨斌，干晓蓉（昆明理工大学城市学院，云南昆明６５００９３）摘要：等约束条件下多元函数极值的充分条件问题通常是采用二阶微分法来判断，该方法原理虽然简单，但计算量大，尤其是随着变量和约束条件个数的增加，要计算出ｄ２Ｌ并判断出其符号就显得更加困难而不可行。文章用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法、多元隐函数求导法以及有条件极值化无条件极值的方法推导证明了多元函数极值的充分条件，并给出易于计算且切实可行的方法和定理，从不同

2、的角度做出了理论的探索与尝试。关键词：等约束；多元函数；极值；充分条件；定理中图分类号：Ｏ１７２．１文献标识码：Ａ文章编号：１００７－９７９３（２０１２）０２－００４７－０６在大学数学许多教材中，关于等约束条件极值几乎只是给出了其必要条件，而要求出极值通常是采用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法求出其可能的极值点，至于是极大值还是极小值往往是结合实际问题来讨论，而要［１］。通常的方法是采用二阶微分法［２］２从理论上准确判断出其是极大、极小值往往比较困难求出ｄＬ并通过其符号的讨论来确定其是极大值还是极小值，该方法在理论上虽然简单，但实际做起来却往往较为复杂，尤其是随着变量和约束条件个数的增加，要

3、计算出ｄ２Ｌ并判断出其符号就显得更加困难而不可［３－５］行。一些文献给出的方法计算量大，不易判断。本文采用多元隐函数求导法以及有条件极值化无条件极值的方法从理论上系统地推导证明了多元函数条件极值的充分条件，用简单的原理推导归纳出相对简单且易于计算的定理，从不同的角度做出了理论的探索与尝试。１二元函数在单等式约束条件下的极值二元函数ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）在条件φ（ｘ，ｙ）＝０下取到极值的充分条件定理１若ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ），φ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上具有二阶连续偏导数，φ２２ｘ＋φｙ≠０，且Ｌａｇｒａｎｇｅ函数Ｌ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）＋λφ（ｘ，ｙ），Ｍ０（ｘ０，ｙ０，λ０）是Ｌ（ｘ，ｙ，λ

4、）的稳定点，即Ｍ０（ｘ０，ｙ０，λ０）是方程组烄Ｌｘ（ｘ，ｙ，λ）＝０烄ＬｘｘＬｘｙ烌烅Ｌｙ（ｘ，ｙ，λ）＝０的解，若Ａ＝；烆ＬｘｙＬｙｙ烎Ｍ０烆Ｌλ（ｘ，ｙ，λ）＝０则Ａ正定，Ｍ０（ｘ０，ｙ０，λ０）是ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）在条件φ（ｘ，ｙ）＝０下的极小值；＊收稿日期：２０１１－１２－１９基金项目：数学天元基金（１１１２６３０９）；昆明理工大学质量工程项目资助．作者简介：杨斌（１９７９－），男，贵州安顺人，硕士，讲师，主要从事高等数学教学与数学应用研究．通讯作者：干晓蓉（１９６２－），女，教授，硕士生导师，主要从事高等数学及统计模式识别研究．·４８·云南师范大学学报（自然科学版）第３２

5、卷Ａ负定，Ｍ０（ｘ０，ｙ０，λ０）是ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）在条件φ（ｘ，ｙ）＝０下的极大值；Ａ不定，该法无法断定。证明不妨设φ′φ１，（１）ｙ≠０，由φ（ｘ，ｙ）＝０φ（ｘ，ψ（ｘ））＝０，ｙ＝ψ（ｘ），则ｙ＝－φ２（′）（′）其中，φ，；由ｙ′＝－φ１ｙ″＝－φ１１＋φ１２ｙφ２－φ１φ２１＋φ２２ｙ（２）１＝φｘφ２＝φｙ２φ２φ２将（１）代入（２）：２２２２有ｙ″＝－φ１１φ２－φ１φ２φ１２－φ１φ２φ２１＋φ１φ２２＝－φ１１φ２－２φ１φ２φ１２＋φ１φ２２（３）３３φ２φ２设Ｍ０（ｘ０，ｙ０，λ０）是以下方程组的解：烄Ｌｘ＝ｆ１（ｘ，ｙ）＋λφ１（ｘ，ｙ）＝０（ｘ，ｙ）

6、＋λ（ｘ，ｙ）＝０，由ｕ（ｘ）＝ｆ（ｘ，（ｘ））ｕ′（ｘ）＝ｆ′，则烅Ｌｙ＝ｆ２φ２ψ１＋ｆ２ｙ烆φ（ｘ，ｙ）＝０″（ｘ）＝ｆ００′００′）ｙ′″，将（１），（３）代入此式化简有：ｕ０１１＋ｆ１２ｙ＋（ｆ２１＋ｆ２２ｙ＋ｆ２ｙｕ″（ｘ）＝１［（ｆ００）（０）２－２（ｆ００）００（ｆ００）０］０（０）２１１＋λ０φ１１φ２１２＋λ０φ１２φ１φ２＋２２＋λ０φ２２φ１φ２（０）２″（ｘ）＝（ｆ００）（０）２００）００（ｆ００）０φ２ｕ０１１＋λ０φ１１φ２－２（ｆ１２＋λ０φ１２φ１φ２＋２２＋λ０φ２２φ１０００００烄ｆ２２＋λ０φ２２－ｆ１２－λ０φ１２烌烄φ１烌（０）２″

7、（ｘ）＝（０，０），φ２ｕ０φ１φ２０００００烆－ｆ１２－λ０φ１２ｆ１１＋λ０φ１１烎烆φ２烎其中，ｆ０（ｘ，ｙ），０（ｘ，ｙ）；０（ｘ，ｙ），λｆ２（ｘ０，ｙ０），（ｉ，ｊ＝１，２）；ｉｊ＝ｆｉｊ００φｉｊ＝φｉｊ００φｉ＝φｉ０００＝－（ｘ，ｙ）φ２００００００烄ｆ２２＋λ０φ２２－ｆ１２－λ０φ１２烌若该二次型矩阵Ａ＊正定，则ｕ″（ｘ）＞０，一元函数在ｘ处取到极小＝００００００烆－ｆ１２－λ０φ１２ｆ１１＋λ０φ１１烎００００烄ｆ１１＋λ０φ１１ｆ１２＋λ０φ