海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用.pdf

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1、万方数据2005年12月第6期(总第18期)安阳工学院学报JournalofAnyangInstituteofTechnologyDee．2005No．6(Gen．No．18)海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用张丽丽王军民耿向平(河南财经学院河南郑州450002)摘要：本文提出了利用海塞矩阵计算多元函数条件极值的一种新方法，并结合几个例子分类讨论这种方法在实际问题中的应用，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了它的问题，并运用本文所列方法，给出了正确的解法。关键词：海塞矩阵；多元函数；条件极值；稳定点中图分类号：0175．27文献标识码：

2、A文章编号：1673—2928(2005)06—0079—03《数学分析》是大多数高校的必开课程，有着十分重要的基础作用，多元函数的极值问题又是这门课程里面非常重要的部分，而且在实践中应用非常广泛，对它的研究就显得十分必要。本文首先介绍多元函数极值问题的一些理论，然后分类讨论不同约束条件下的求解方法，这些方法具有一定的普遍性，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了其中一个例子解法中的错误，并采用本文的方法，给出正确的解题方法。在《数学分析》⋯教材中，多元函数有如下定义：设凡元函数Y=八菇)=八石，，z：，A，戈。)定义于区域D中，且点P0

3、(菇：，名!，A，石：)是这区域内的一点。若在点R的某邻域内，恒有尺戈)<八P。)(或八戈)>八P。))则称函数，(石)在点P。处有极大值(或极小值)。本文若无特殊说明，均假定函数八戈)在点P0(菇?，z：，A，戈：)的某邻域内连续，且二阶偏导数也连续。下面我们给出稳定点和海塞矩阵的定义。定义1记珏元函数Y=火茁)=苁菇。，戈：，A，并。)的一阶偏导数为八戈)=f罢，善，A，罟l(1)＼O'X1O"X2唧。，若点P0使得以P0)=(著，差，A，差)I，。为零向量，则称点P0为函数以并)的稳定点。定义2称八菇)为函数以z)的海塞(Hesse

4、)矩阵，若尸’(戈)=警最以最OxOx以：缸1砒2—1。去砒o_5；以血OX20Xn觑2觑l砒；以A以蠡最Ox以舞巩。缸1砒。2一缸：易见，在本文的假设条件下，海塞矩阵是一个对称矩阵。下面的两个定理是我们在计算多元函数的极值问题时经常用到的。定理1设函数八戈)在点P0具有偏导数，且在点P0处有极值，则点Po必为函数八戈)的稳定点。定理2设函数八菇)在点Po的某邻域内连续，且一阶及二阶偏导数也连续，则(1)稳定点P0是极小值点的充分条件是海塞矩降尸’(P0)为正定矩阵；(2)稳定点P0是极大值点的充分条件是海塞矩阵．尸’(P。)为负定矩阵；

5、(3)稳定点Po不是极值点的充分条件是海塞矩阵厂’(P。)为不定矩阵。接下来，我们根据约束条件的不同，分两种情况来计算多元函数的极值。1无约束情况十收稿日期：2005一12—20作者简介：张丽丽(1978一)，女，河南偃师人，河南财经学院讲师，主要从事数值计算方向的研究。(2)·79·万方数据例1求以石，Y，z)=戈2—2xy+2y2+Z2一yz+菇+3y—z的极值。解直接计算得到它的稳定点为(一百17，了7，丁2)。经计算知道函数在稳定点(一百17，了7，丁2)处的海塞矩阵为立立立．．．．．‘．-------J-L．．．．．．．．IL缸

6、2觑砂巩出立盥立砚抵03,2maz立立立r2—2=f一241_0．．1这是一个正定矩阵，根据定理2，稳定点(一百17，了7，了2)是函数的极小值点，相应的极小值为八一百17，了7，2、55了，2一西。2约束条件为等式的条件极值求多元函数的条件极值时，通过构造拉格朗日函数可求得稳定点，但如何判断稳定点是否为极值点，在参考文献[1]中没有给出具体的方法，往往是根据问题的实际情况直接推断稳定点即为极值点。本文通过目标函数和约束条件构成的复合函数求得海塞矩阵，根据海塞矩阵的正负定性应用定理2来判断稳定点是否为极值点。这种方法适用于三元及三元以上函

7、数的条件极值。例2求u=戈+Y+z+t在条件xyzt=a4(髫，y,z，t，a>0)下的极值。解构造拉格朗13函数八菇，Y，z，t)=石+Y+z+t+A(xyzt—a4)经计算知道它的稳定点为(o，口，o，a)，且A=一去。为了判断稳定点是否为极值点，把条件xyzt=04看作隐函数t=t(x，)，，z)，且把目标函数“=z+Y+z+t(菇，)，，z)=F(茗，y，z)看作M=并+Y+z+t与t=t(x，y，z)的复合函数。将xyzt(x，Y，孑)=口4两边同时对舅求导，得yzt+xyziOt：0，即罢=一上。同理可求得譬：一一t，譬：一一

8、t。ayY吁o一“aF10t1t荸Ft1at2t孑F10tt02F10tt驭瓦_1+夏-1一i，万27一i。磊2一x2，丽2一i。万2石’一0xoz2一i。瓦2西。同理可求得其余的二阶偏导数。