曲线的可积运动研究.pdf

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1、StudiesonIntegrahieMotionsofCurvesByChuanyouXuSupervisor：Prof．XifangCaoSchoolofMathematicalSciencesYangzhouUniversityMay，2012SubmittedintotalfulfilmentoftherequirementsIo?^thedegreeofPh．D．inmathematics中文摘要几何思想在现代理论物理中的许多领域中都有所体现，它们通常对应于非线性物理中的某些现象．在几何学本身和非线性物理中，可积系统起着关键性作用．如Einstein方程的精确

2、解，弦理论，非线性光学和流体动力学中的孤子等．孤子理论是非线性学科中的一个重要组成部分，具有广阔的物理背景和广泛的应用，现已成为数学中重要的研究领域．数学和物理中有关可积性的交互作用产生了丰富的结果．可积非线性偏微分方程和差分方程的现代理论深深植根于19世纪末和20世纪初杰出几何学家的研究成果．而曲线的可积运动最早也是源于物理中无界无粘性流体的孤立涡丝的空间演化，接着在数学和物理中发展起来．本文研究欧式空间和Minowski空间中曲线的可积运动理论，主要结果如下：一．欧氏空间中的曲线运动和B戋cklund变换．根据运动曲线的相容性以及Frenet标架的相容性，得到了关于

3、曲率和挠率的非线性偏微分方程．对于常挠率运动曲线，非线性偏微分方程化为KdV方程．随后，我们得到了平面曲线流的Frenet标架之间的B／icklund变换，并由此构造了圈孤子曲线和闭曲线．最后，我们利用Lie代数su(2)和so(3)之间的同构，得至ULie群su(2)和so(3)之间的同态映射，并由此构造了常挠率运动曲线Frenet标架之间的B戋cklund变换，研究了周期曲线，这些周期曲线在zⅣ平面上的投影是闭曲线．二．Minkowski空间中的曲线运动和B五cklund变换．根据曲线运动的相容性以及Frenet标架的相容性，得到了关于曲率和挠率的非线性偏微分方程．

4、对于常挠率曲线运动，非线性偏微分方程化为KdV方程和散焦KdV方程．随后，我们利用Lie代数su(1，1)和so(1，2)之间的同构，得到Lie群SU(1，1)和SO(1，2)之间的同态映射，进而得到了常挠率运动类时曲线Frenet标架之间的B舀cklund变换．类似地，利用Lie代数su(1，1)和so(1，1，1)以及Lie代数su(1，1)和so(2，1)之间的同构，分别得到了主法向量是类时和主法向量是类空两类运动类空曲线Frenet标架之间的Backlund变换．接着，研究了对应于常挠率曲线沿着不含有副法向量运动的非线性偏微分方程，给出了该方程以及运动曲线的B五

5、cklund变换．最后，考虑了对应于常挠率曲线仅沿着副法向量运动的非线性偏微分方程，给出了该方程以及运动曲线的Biicklund变换．三．Minkowski空间中的Bertrand曲线和Razzaboni曲面．首先考虑了类时Bertrand曲线的伴侣曲线．对于由类时Bertrand曲线沿着副法向量运动生成的Razzaboni曲面，我们考虑了Razzaboni曲面及其对偶曲面之间的互反变换．接扬州大学博士学位论文着研究了类时Bertrand曲线之间和对应的Razzaboni面之间的B戋cklund变换，最后证明了互反变换和B舀cklund变换是交换的．对于另外两类Bert

6、rand曲线，即主法向量是类时的和主法向量是类空的类空曲线，我们得到了类似的结论．最后，我们分别研究了主法向量是幂零的类空曲线和幂零曲线的Bertrand伴侣曲线和Mannheim伴侣曲线．关键词：可积系统，曲线运动，MKdV方程，B戋cklund变换，类时曲线，类空曲线，Minkowski空间，BertrandI抽线，互反变换，交换性，Mannheim曲线．AbstractGeometricideasarepresentinmanyareasofmoderntheoreticalphysicsandtheyareusuallyassociatedwiththepres

7、enceofnonlinearphenomena．Inte-grablenonlinearsystemsplayaprimerolebothingeometryitselfandinnonlinearpaysics，suchasexactsolutionsoftheEinsteinequations，stringtheory，solitonsinnonlinearopticsandhydrodynamics，andmanyothers．Solitontheorynowbecomesanimportantbranchofmathematic