可积耦合方程的代数结构-论文.pdf

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1、第32卷第2期上海第二工业大学学报Vbl_32No．22015年6月JOURNALOFSHANGHAISECONDPOLYTECHNICUNIVERSITYJun．2015文章编号：1001—4543(2015)020152—04可积耦合方程的代数结构罗琳，马志勇，谢晓强(上海第二工业大学理学院，上海201209)摘要：主要根据李代数半直和思想，构造非线性数学物理方程的可积耦合系统(包括连续和离散2种情形)，并研究这些连续和离散的可积耦合方程的代数结构，即耦合方程的元素组所对应的李积元素组也满足耦合的零曲率方程。关键词：可积耦合

2、方程；零曲率表示；代数结构中图分类号：029文献标志码：A0引言可确定一个连续的可积方程在孤立子理论中，可积耦合系统日益受到关注。Ut=K—K(x，，u)(3)常见的构造可积耦合系统的方法有色散法、李代数半直和法、Loop代数法。人们可以利用这些方法得到方程的可积耦合系统[1_，进而研究耦合系统的这就说明元素组()满足零曲率方程可积性质，并求解该耦合方程。而在可积系统中方U()[]+t厂(A)一+[V]=0(4)程的对称是一个非常重要的方面，如果方程本身的性质如Lax对等不明确，那么最有效的求解该方程的方法是考虑它们的对称，而且

3、对称包含了很多好式中，U(u)【表示Gateaux导数，U(u)[K]一的数学结构[5-11]。本文主要讨论和综述连续和离散(+EK)I酬。的可积耦合系统的代数结构。为了生成连续方程式(3)的可积耦合系统，我们引进李代数的半直和思想，选取另一个loop代数1连续的可积耦合方程G。，使得设G表示矩阵loop代数，设矩阵谱问题是：G=G0G(5)c，t—：(u，)，t：=，．厂()l不妨选择谱问题式(1)的耦合谱问题为：式中：u=u(，t)=【ul(x，t)u2(x，t)⋯uq(，t)】T，，∈是势函数；V∈G是同阶方阵也被称作La

4、x对；入∈C是谱参数；f(A)∈C(c)。则根据零t：=(，)，t一f(A))J㈣曲率方程式中：=【uTVT】T，而且u：u(，t)一【ul(x，t)一+[=0(2)2(，)⋯qx，)]T；：v(x，)=vxx，)收稿日期：2015—02—28通讯作者：罗琳(1968一)，女，湖北人，教授，博士，主要研究方向为可积系统。电子邮箱luolin@sspu．edu．cn。基金项目：国家自然科学基金(No．11371244)、上海市教委基金(N0．14ZZ166)、上海第二工业大学应用重点学科建设项目(No．XXKZD1304)资助上海

5、第二工业大学学报2015年第32卷决定了离散方程式(14)的可积耦合系统令向量场lI1●!，==cn，t，=+∞U][]==，[]，：[主]，三=[]∈F+％∑也(19)其中一K，S，=∈Fq，且，，c∈Ⅲ’。则我们可以0定义向量场K一，S一∈Fq+qc的交换关系为：这就说明耦合的元素组(U一，V一，K一)满足耦合的离散+==)，十=一零曲率方程雪霞=[’]}22lJ【，s]：【]一[K]+【]一[】J()[】+，()一(EV一)U一+：0(20)显然上述式(2O)等价于下列方程组式中，同：+【]=l：。(+Es)l。+l。：。

6、Kc(u+e)l：。。通过直接计算戎1lJ伺天系瓦：ff，，+cvclef霞．S一．L一1：0我们将式(19)和(21)都称为离散方程式(14)的可因此，这个积的关系式(22)使得向量场玄，雪，在积耦合方程。~q+qc中形成一个李代数结构。设M(fJ)：{(，K一，，)){(，霞，f)∈u~2f0r1×3可积耦合方程的代数结构Fq+qc×o。(C)表示满足耦合的零曲率方程式(1o)和(20)的全体，则我们有如下结论。为了叙述方便，我们先给出一些数学记号。设定理设元素组(，，，)，(，S一，g)∈()F表示全体复值函数P：P(x，

7、t，U，)或者P=是耦合的零曲率方程式(10)或(20)的两组解，且P(竹，t，，)的全体，令={[Pl⋯]T1∈[f，91()∈Co。(c)与4V一，W—l∈u~2f0r1分别满足F)。用U表示所有r×阶矩阵的线性微积分算子或者差分算子的全体，即[f，夕]()=．厂()()一，()()(23)4，W一』：[雪]一[】+[V一，]+9一，(24))：{(P~jO)}j=J(，t，u，)∈F)则由它们的李积构成的元素(I，l，[，，[f，9】)也满足耦合的零曲率方程式(10)或(20)，即：或者()【，S习+【，，9]()一4V一

8、，l+=U∑)，n=一ook=0[，4，们=0(25))={(P,jE)×1J=P~j(n，t，，)∈F)()[露，S+[f，91()一(EI，1)+，Wl=0(26)定义证明将式(22)～(24)代入式(2)，直接计算即r：r。一】，：[入j入一】得。第2期罗