可积反应-扩散方程协变延拓结构研究

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1、摘要Ｗａｈｌｑｕｉｓｔ和Ｅｓｔａｂｒｏｏｋ最早利用Ｃａｆｔａｎ的外微分形式方法提出了非线性演化方程的延拓结构理论，并且成功地讨论了ｋｄｖ方程的延拓结构。之后很多专家利用微分几何和群论来研究非线性偏微分方程，也都取得了很多重要的结果。基于几何量的协变性要求，郭汉英等人通过纤维丛上联络的理论提出了协变的延拓结构理论．从而使得整个理论成为协变的。本文就是利用这套协变的延拓结构方法讨论了可积的非其次反应扩散型方程的延拓结构。通过建立ＳＬ（２，Ｒ）主丛及其伴丛，并找到其李代数的１维和２维实现，我们成功得到了其反散射方程和Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换。关键词：延拓结构，非线性联络，

2、反应一扩散方程，Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换ａｂｓｔｒａｃｔＷ“ＩｑｕｉｓｔａｎｄＥｓｔａｂｒｏｏｋｐｒｏｐｏｓｅｄａｔｈｅｏｒｙｏｆｐｒｏｌｏｎｇａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｏｆｔｈｅｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ＮＥＥ８１ｉｎｔｅｒｍｓｏｆＣａｒｔａｎ’ｓｅｘｔｅｒｉｏｒｄｉｌｉｅｒｅｎｔｉａｌｆｏｒｍｍｅｔｈｏｄａｎｄｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙａｐｐｌｉｅｄｉｔｔｏｋｄｖｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇｔｈｅｍ，ｍａｎｙｗｏｒｋｅｒｓｈａｄｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｍａｎｙｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｂ

3、ｙｍｅａｌｌ８ｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｇｅｏｍｅｔｒｙａｎｄｇｒｏｕｐｔｈｅｏｒｙａｎｄｏｂｔａｉｎｅｄａｌｏｔｏｆｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｕｌｔｓ．Ｂａｓｅｄｕｐｏｎｔｈｅｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｏｆｃｏｖａｒｉａｎｃｅｏｆｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ，Ｇｕｏｅｔａｌｐｒｏｐｏｓｅｄｔｈｅｃｏｖａｒｉａｎｔｔｈｅｏｒｙｆｏｒｔｈｅｐｒｏｌｏｎｇａｔｉｏｎｓｔｒｕｃ－ｔｕｒｅｂｙｍｅⅫｏｆｔｈｅｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｏｆｆｉｂｅｒｂｕｎｄｌｅｓ，ｔｈｕｓｍａｋｉｎｇｔｈｅｗｈｏｌｅｔｈｅｏｒｙｃｏｖａｒｉａｎｔ．Ｉｎｔｈｉｓ

4、ｐａｐｅｒｗｅ’ｌｌｕ卵ｔｈｉｓｃｏｖａｒｉａｎｔｔｈｅｏｒｙｔｏｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｐｒｏｌｏｎｇａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｔｈｅｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｉｌｅｒｅａｃｔｉｏｎ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｔｙｐｅ：Ｂｙｅｓｔａｂ－ｌｉｓｈｉｎｇＳＬ（２，Ｒ）ｐｒｉｎｃｉｐａｌｂｕｎｄｌｅａｎｄｉｔｓａｓｓｏｃｉａｔｅｄｂｕｎｄｌｅａｎｄｆｉｎｄｉｎｇｂｏｔｈ１－ｄｉｍｅａｍｉｏｎａｌｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎａｎｄ２－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ’ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｉｔｓａｌｇｅｒａ．ｗｅｃａｎ￥ｕｃｃｅ∞ｆｕ

5、ｌｌｙｇｉｖｅｉｔｓＡＫＮＳ－ｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄＢａｃｋｌｕｎｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄ：ｐｒｏｌｏｎｇａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ，ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｙｐｅ，Ｂａｃｋｌｕｎｄｔｒａｐｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．ｎ１ｒｅａｃｔｉｏｎ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ第一章引言用微分几何方法来研究非线性偏微分方程的思想，在上个世纪七八十年代取得了非常重要的发展。很多著名的学者和专家参与了其中．并获得了许多重要的结果・１９７５年，ｗａｈｌｑｕｉｓｔ和Ｅｓｔａｂｒｏｏｋ在【ｌ】中首次提出了１＋１维的非线性偏

6、微分方程的延拓结构理论，并应用到了ｋｄｖ方程，显式地得到了几个赝势。并且讨论了它们和相关的反散射方程以及Ｂａｅｋｌｕｎｄ变换之间的关系．这一成功激发了很多的专家用微分几何和群论来研究非线性偏微分方程。Ｈｅｒｍａｎｎ【２】提出了具体的Ｃａｒｔａｎ－Ｅｈｒｅｓｍｎｎ联络ｕ＝ｄｙ十‘咖＋ｕｌ！，＋忱矿来理解【１】中给出的ｋｄｖ方程的ｓｌ（２，Ｒ）延拓结构・Ｃｒａｍｐｉｎ等【３】把ＡＫＮｓ２×２问题归结为找到外形式Ｑ１，ｎ２，ｎ３，满足零曲率ｅ三ｄｆｌ—ｎＡＱ＝０其中而原始的非线性方程则可写成肚要瞪把ｍ㈨Ｄ他们指出．ｎ可解释为ＳＬ（２，Ｒ）主丛上的联络。因此，Ｓｏ

7、ｌｉｔｏｎ方程相应于零曲率方程（纯规范场）。Ｍｏｒｒｉｓ【４】运用【１】中延拓结构方法讨论了有引力作用的浅水波方程，构造了它的外延拓结构，并证明这可用来确定另一类广义散射反演问题。Ｃｏｒｏ－ｎ∞【５】则对简单赝势的存在性做了仔细的讨论．并导出了Ｈｉｒｏｔａ方程的外延拓结构。Ｄｏｄｄ和Ｇｉｂｂｏｎ【６】又构造了一种高阶Ｋｄｖ方程的Ｌｉｅ代数，他们特别指出，这一方法的主要威力在于能够由外延托结构导出未知的散射反演问题。ＡＲｏｙＣｈｏｗｄｈｕｒｙ１７］等则用这种方法讨论了１维ｌａｎｇｍｕｉｒ波方程及一种特殊类型的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程的外延拓结构。而Ｓａｓａ

8、ｋｉ【８】指出所有的ＡＫ