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《n阶变系数线性常微分方程的可积性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第30卷第6期喀什师范学院学报Vol.30No.62009年11月JournalofKas掩arTeaehersColle罗Nov.2009n阶变系数线性常微分方程的可积性胡爱莲,郭俊(喀什师范学院数学系,新疆喀什844007)摘要:讨论了一类四阶五阶变系数线性常微分方程的可积性,进而给出了方程夕()+a,(x),(一)+aZ(x),(一2)+!+∀二一,(x)夕#+∀:(x),=F(x)在条件a产:+aoa,1一a;a二=0a产3+ana飞一aZa二=0a产∀一;+a,a几一:一a,一la二=o砚十ana二一:一气
2、一:式=0下的初等积分法,并推出了其求解公式.关键词:变系数线性非齐次微分方程;初等积分法;通解.中图分类号:0175.1文献标识码:A文章编号:1006一432X∃2009)06一0003一04我们已知道,n阶线性非齐次微分方程的通解论方程(l)通解的求解方法.就是它对应的齐次方程的通解再加上它本身的一引理y二叭x)是方程(1)的解的充分必要条个特解.但是,除了n阶常系数线性非齐次微分方件是:日g;二94(x),93=93(x),g:=92(x)和gl程通解可以有明确的求解方法外,变系数线性齐次=91(x),使得少)=94
3、,y=93,犷=92,了二g,,微分方程和变系数线性非齐次微分方程的求解一∀F一94一a193一aZgZ一a3gi,_,般都比较困难,大多数时候其可积性都是无法判断己4的.文献%1一5&介绍了一些三阶变系数线性微分方证明必要性.若y=y(x)是方程(1)的程可积所应具备的条件及相应的求解方法,文献∋6解,则夕(4),厂,夕,和夕#存在.令夕(4)=94,夕#=93,一7]介绍了一些高阶线性方程的可积情况.受文献犷二g:,y=g:,将它们代人方程(l)整理得∋5&启发,本文探讨了另外一类可用初等积分法求F一94一a193一a
4、ZgZ一a3gl解的n阶变系数线性非齐次微分方程,其解法可y=(xe(a,b)).不需要考虑齐次方程通解的求解,直接去寻求相应必要性得证.方法的通解.充分性.因为日g;=94(x),93=93(x),g21四阶变系数线性非齐次微分方程的解法=92(x)和g,=g;(x)使得夕(4)=94,夕=93,夕,为了叙述方便,记四阶变系数线性非齐次常微=g2,了=g1,且F一94一a193一aZgZ一a3gl分方程为:y=夕(4)+al夕一+aZ夕,#+a3夕+a4夕=F(x)将前四式带人最后一式,移项得(1)其中:al=al(x)
5、,a:=aZ(x),a3=a3(x),a4=,(4)+∀1,#+∀2,,#+∀3,+∀4,二F(二)(:任(∀,占).a4(x)和F=F(x)都在(a,b)内连续,且a;=a4所以y二y(x)是方程(1)的解.(x)共0.充分性得证.显然为了下文表述简便,记,方程(l)的通解是存在的.下面我们来讨收稿日期:2009一06一01作者简介:胡爱莲(1967一),女,硕士,教授,主要研究方向为积分方程.4喀什师范学院学报第30卷J,气,X.,=_lf(a#4一a;a4U&工)J∗4():+一一3);)(丁gZdX+);)+(a
6、4a3+a4a飞一aZa飞)92定理1在四阶线性常微分方程少4)+∀1厂+(a4a:+a4a,1一ala认)93=o,+∀Zy,+∀3y+∀4y=F(x)中,若∀4,∀3,∀2,al又和F都在(a,b)可导且a4井0.当满足条件一a4g盆+(a盆一a,内)g;+(a4F一Fa飞)=0,a4a:+a4a,1一口1口4二0所以a4a3+a4a飞一aZa认=0(2){心+a4a3一a3a飞=0el)∀:({gZdX++则可用初等积分法求此方程的通解.=一(a4a3a4a,2一aZa飞)92证明(1)先证明94,g3,92,g;和y
7、存在.一(a4aZa4∀,1一a:a认)93因为,∀4,∀犷,∀2,∀1和F都在(∀,b)可导且一()4);一3);)({gZdX+一,a;护0,所以一aZg盆+(a盆一alaZ)94一a4g认+(a飞一a,a4)g;+(a4F#一Fa,l).=0+(a4F一Fa盆),是关于g;的一阶线性常微分方程,其通式为:于是94(x)二J黔俨∋气丛e一赞dxdx+c4}({gZdX+一,一%一F一g一飞93一a4alg3一a4a飞g:一a4aZg飞+a飞a3gl尉竺截必∗+J,护dx一a4a3g:一a认F+a盆g;+a,4a,93a4
8、F#一Fa二_Jf竺&二∗二月二生dxdx{口4+);一92一({gZdX+一)+/);a4F#一Fa汤e一f(,)dx(3)二:4∀),+,)J忍4一{);%F一94一193一292一3(丁gZdX+)1):#即在(a,b)内存在可导函数g;=94(x),使得g4一心∋F一93一92一
