二阶变系数齐次常微分方程的

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1、新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处2新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文目录引言11二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用12二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用42.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程52.2未知函数代换63二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用83.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法83.2应用104总结11参考文献

2、12致谢132新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用摘要:本文研究了二阶变系数线性常微分方程的几种求解方法。首先给出了微分方程的一些基本概念，2新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文讲述了变系数线性常微分方程的解法。随后详细给出了一个求二阶变系数齐次线性常微分方程的一般求解法的实例，该实例来学习掌握二阶变系数齐次常微分方程的解法。关键词:二阶变系数齐次线性微分方程；二阶变系数非齐次线性微分方程；通解；常数变易法；2新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用引言二阶变系数齐次常微分方程在微分方程理论

3、中占有重要位置。在许多实际问题中，常常将某些问题化成为二阶变系数线性微分方程，因此有必要研究这类方程的解法及其特性。本文利用常数变易法和构造法来在求二阶变系数线性微分方程的通解的一般方法上进行讨论，诣在解决二阶变系数线性微分方程求解的问题，并提出二阶变系数线性常微分方程的求解基本方法和步骤，以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要，为以后的方程求解工作奠定了基础。1二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用二阶线性齐次微分方程在微分方程理论中占有重要位置。关于它的通解结构，有十分完美的结论，但求解变系数微分方程却无一般方法。下面我们讨论二阶变系数齐次线性微分方程

4、（1）本文将探讨方程（1）当（其中为常数）的通解求法及通解公式。为求二阶变系数齐次线性微分方程（1）通解，我们先求二阶常系数齐次线性微分方程（2）（其中a,b,c为常数，a≠0）的通解。由二阶齐次线性微分方程通解结构定理可知，欲求（2）的通解，关键是求方程（2）的两个线性无关的特解。根据求导经验，指数函数（为常数）的各阶导数是同类型的函数，仅相差一个常数因子。由此我们用来尝试，看能否选取适当的常数,使满足方程（2）。对求导可得：13新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文，而，故有（3）若是方程(3)的一个解，则必是方程(2)的一个解.因此我们很容易得到方程(2)的通解。方

5、程(1)与方程(2)结构类似，不同的是方程(1)是变系数，方程(2)是常系数，而常系数是变系数的特例.按照类比的方法，我们猜想方程(1)具有特解，看应该满足何种条件.将，，代入方程（1），得：因,所以必有(4)需注意的是，上式对方程有意义的一切恒成立，这意味着此时对变系数，有较大的限制.对已知的，如果存在常数恒有(4)式成立，则方程(1)必有特解.下一步是找方程(1)的与线性无关的是另一特解，这自然使我们想到常数变易法.设是方程（1）的特解，且常数则，，将代入方程（1），整理可得：而，所以13新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文（5）方程（5）不含项，是可降阶的二阶线性

6、齐次微分方程。令，于是（5）式可化为：，解之得：（注：约定积分不含积分常数C）,则.由于，则其不定积分不为常数，即，故方程（1）的两个特解线性无关，从而方程（1）此时的通解为（其中为任意常数）。综上所述，我们可得如下结论：命题：二阶变系数齐次线性微分方程满足条件（其中为常数），则该方程的通解的积分公式为：13新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文（6）解题时，我们既可按照上述方法进行常数变易，求其通解，也可按公式（6）求出通解。例1解方程：13新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文解：这里假设，即因为r为常数，所以,由此得方程的一个特解，再设为所求方程的另一特解，则，，

7、将代入所给方程，化简得：，解之得：，由于方程为齐次线性方程，故去掉系数后仍是其特解，且与线性无关，于是方程的通解为：2二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用设二阶变系数的齐次及非齐次方程分别是(A)和(B)13新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文这里总是假设在某一区间上连续。求解方程（A）或（B）有如下两个方法。2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程　我们知道，对于二阶常系数齐次线性微分方程可通过特征方程法求线性无关的特解,然后根据微分方程解的性质得其通解,那么二阶变系数齐次线性微分方程怎么求解?二阶变