常微分方程3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法

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1、3.4线性非齐次常系数方程线性非齐次常系数方程的待定系数法.在第2节给出的常数变易法比较繁琐，本节将给出比较简单的解法.1考虑常系数非齐次线性方程(3.4.1)当是一些特殊函数，如指数函数，正余弦函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。2一、非齐次项是多项式（3.4.2）当时,零不是方程的特征根.可取特解形式为（3.4.3）其中是待定常数.比较方程同次幂的系数……解出3当时,零为方程的单特征根，令当时,零为方程的二重特征根，直接积分得方程的特解……4综合情况,我们得到特解形式:通过比较系数法来确定待定常数5例1求方程的一个特解.解:对应的齐次方程的特征根为零不是特征根,因

2、此,设方程特解的形式为将代入方程得比较上式两端的系数,可得因此,原方程的一个特解为6例2求方程的通解.解:对应的齐次方程的特征根为齐次方程通解为:因为零是特征方程的单根,将代入方程得:原方程的特解为:原方程的通解为:故特解形式为7二、非齐次项是多项式与指数函数之积做变换则方程变为:8(1)当不是特征根时,方程的特解形式为(2)当是单特征根时,方程的特解形式为(3)当是二重特征根时,方程的特解形式为对应的齐次方程的特征方程9例3求方程的一个特解.解:对应的齐次方程的特征根为二重根因此,该方程特解的形式为将代入方程,可得因此,原方程的一个特解为10例4求的特解.解:做变换则原方程

3、变为对上面方程积分得到一个特解因此,原方程的特解为11例7求方程的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通解为:再求非齐次方程的一个特解.因为方程的右端由两项组成,根据解的叠加原理,可先分别求下面两个方程的特解.解:先求对应齐次方程的的通解.12这两个特解之和为原方程的一个特解.对于第一个方程,设特解代入第一个方程得:对第二个方程,设特解代入第二个方程得:原方程的通解为13三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积当不是对应齐次方程的特征根时,取.当是对应齐次方程的特征根时,取.方程的特解形式为14例5求的通解.解：先求对应齐次方程的通解特征方程的根为所以齐次方程的通

4、解为再求非齐次方程的一个通解，15不是特征根，故代入原方程得到得A=2，B=1，故原方程的特解为于是通解为16例6求方程的通解.解:先求对应齐次方程的的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通解为:再求非齐次方程的一个特解.是特征根,故原方程特解的形式为17代入原方程得比较方程两边的系数得:故原方程的特解为:因而原方程的通解为:例6求方程的通解.方程特解的形式为18作业:P1492，3，6，7，8(1)，9,1019