4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程

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1、线性齐次常系数方程一、概念二、常系数齐次线性方程三、变系数齐次线性方程一、概念阶齐线性微分方程：n),,2,1()(数方程；均为常数时，称为常系当nixaiL=常系数齐线性微分方程：定义],[)()(上的实函数。是定义在，battyj极限连续导数1、复值函数易验证2、复指数函数复指数函数b为实数，ti,baa+=为实变量。定义欧拉公式性质1性质2性质3性质43、复值解如果定义在上的实变量的复值函数满足方程为方程的一个复值解。则称其中及都是区间上的实值函数,定义定理如果方程（）中所有系数都是实值函数，而是方程的复的实部，虚部和共轭复数也是方程（）的解。值解，则函数考虑

2、方程n阶常系数齐次线性方程：二、常系数齐次线性方程关键：找n个线性无关的解考虑代入令因此要使只需满足结论：是方程的解的充要条件是特征方程特征根特征方程的根下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。特征根为单根的情况设是的n个互不相等的根，则相应的方程有如下n个解由于范德蒙行列式因此线性无关，是方程的基本解组。①均为实根方程的通解可表示为②若特征方程有复根因方程的系数是实常数。复根将成对共轭出现设是方程的一个特征根也是一个特征根对应两个实值解则方程有两个复值解例1求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解例2求方程的通解。解第一步：求特征根第二步

3、：求出基本解组第三步：写出通解2)特征根有重根的情况设是k重特征根方程有k个线性无关的解设是k重特征根方程有k个线性无关的解①特征根为实根②特征根为复根设为方程的一个重特征根也是一个重特征根它们对应2个线性无关的实解是常系数齐次方程求解步骤第一步：写出特征方程第二步：求出特征根和重数特征根重数第三步：对应写出通解特征方程的根通解中的对应项例3求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解例4求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解例5求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解三、变系数齐次线

4、性方程欧拉(Euler)方程为常数。其中引入自变量代换类似方法进行下去，可得原方程可化为常系数线性方程当时，即为常系数齐线性方程例5求方程的通解。解通解特征方程令可化为特征根练习题练习题答案