常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法.ppt

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1、3.4线性非齐次常系数方程线性非齐次常系数方程的待定系数法.在第2节给出的常数变易法比较繁琐，本节将给出比较简单的解法.1考虑常系数非齐次线性方程(3.4.1)当是一些特殊函数，如指数函数，正余弦函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。2一、非齐次项是多项式（3.4.2）当时,零不是方程的特征根.可取特解形式为（3.4.3）其中是待定常数.比较方程同次幂的系数……解出3当时,零为方程的单特征根，令当时,零为方程的二重特征根，直接积分得方程的特解……4综合情况,我们得到特解形式:通过比较系数法来确定待定常

2、数5例1求方程的一个特解.解:对应的齐次方程的特征根为零不是特征根,因此,设方程特解的形式为将代入方程得比较上式两端的系数,可得因此,原方程的一个特解为6例2求方程的通解.解:对应的齐次方程的特征根为齐次方程通解为:因为零是特征方程的单根,将代入方程得:原方程的特解为:原方程的通解为:故特解形式为7二、非齐次项是多项式与指数函数之积做变换则方程变为:8(1)当不是特征根时,方程的特解形式为(2)当是单特征根时,方程的特解形式为(3)当是二重特征根时,方程的特解形式为对应的齐次方程的特征方程9例3求方程的一个

3、特解.解:对应的齐次方程的特征根为二重根因此,该方程特解的形式为将代入方程,可得因此,原方程的一个特解为10例4求的特解.解:做变换则原方程变为对上面方程积分得到一个特解因此,原方程的特解为11例7求方程的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通解为:再求非齐次方程的一个特解.因为方程的右端由两项组成,根据解的叠加原理,可先分别求下面两个方程的特解.解:先求对应齐次方程的的通解.12这两个特解之和为原方程的一个特解.对于第一个方程,设特解代入第一个方程得:对第二个方程,设特解代入第二个方程得:原方程的通

4、解为13三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积当不是对应齐次方程的特征根时,取.当是对应齐次方程的特征根时,取.方程的特解形式为14例5求的通解.解：先求对应齐次方程的通解特征方程的根为所以齐次方程的通解为再求非齐次方程的一个通解，15不是特征根，故代入原方程得到得A=2，B=1，故原方程的特解为于是通解为16例6求方程的通解.解:先求对应齐次方程的的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通解为:再求非齐次方程的一个特解.是特征根,故原方程特解的形式为17代入原方程得比较方程两边的系数得:故原方

5、程的特解为:因而原方程的通解为:例6求方程的通解.方程特解的形式为18作业:P1492，3，6，7，8(1)，9,1019