论文--二阶变系数常微分方程几种解法的探讨

《论文--二阶变系数常微分方程几种解法的探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、二阶变系数常微分方程几种解法的探讨胡博（111114109）（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感432000）摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解Toexplorethesolutionofsomeordinarydifferentialequationsoftwoorde

2、rvariablecoefficientZhangjun(111114128)(SchoolofMathematicsandStatisticsHubeiEngineeringUniversityHubeiXiaogan432000)Abstract:Differentialequationwithconstantcoefficientsisaclassofequationswecancompletelysolvethepresentgeneralsolution,andchangecoefficientdifferentialequationsisdifficult,thevariablec

3、oefficientordinarydifferentialequationisatpresentthereisnogeneralsolution.Thispapermainlyexplorestheordinarydifferentialequationwithvariablecoefficientsofordertwo,theuseofspecialsolutions,variationofconstants,variabletransformmethodtoextractsometwoorderlineardifferentialequationwithvariablecoefficie

4、ntsofthegeneralsolution,andsummarizesthetwobasicmethodsforsolvingthesecond-orderlinearequationswithvariablecoefficientsandsteps.Keywords:Twoordervariablecoefficientlineardifferentialequations;transformation;generalsolution;specialsolution0引言二阶变系数常微分方程y''+pxy'+qxy=0及其特征值问题是求解数学物理方程的基础。可见二阶变系数常微分方程在物理

5、学中应用是非常广泛的。但一般二阶变系数微分方程的求解比较困难，至今仍没有通用解法，因此探讨二阶变系数微分方程的解法是非常有必要的。本文主要利用特解、常系数变法、变量变换等方法来求解某些二阶变系数微分方程的通解，给我们在日后求解二阶变系数微分方程的过程提供了方便。1具有特定结构的二阶变系数常微分方程二阶变系数齐次线性微分方程：fxy''+pxy'+qxy=01.1，(其中fx,px,qx为连续函数)。1.1满足条件fxr2+pxr+qx=0,r为常数类型时，方程1.1的通解在求1.1通解前，我们先求二阶常系数齐次线性方程ay''+by'+cy=0其中a,b,c为常数且a≠01.1.1由线性微分方

6、程通解结构定理【1】知，若y1x,y2x是1.1.1的两个线性无关的特解，则其通解为y=c1y1x+c2y2x.假设y=erx是方程是方程1.2的一个特解，则讨论r满足的条件对y=erx两边求导得：y'=rerx,y''=r2erx将其代入方程1.2得：ar2+br+cerx=0,由于erx≠0，则可知ar2+br+c=01.1.2当r为1.3的一个解时，y=erx必为1.2的解由此很容易求出方程1.2的通解。对比方程1.1，1.1.1，易知其结构类似，且方程1.1.1是1.1的特殊形式。所以我们类比上述求解常系数方程的方法，猜想假设1.1有一个特解y=erx，将y=erx，y'=rerx,y

7、''=r2erx代入方程1.1得：fxr2+pxr+qxerx=0其中显然erx≠0，则有：fxr2+pxr+qxerx=01.1.3此时若对fx，px，qx存在常数r使得1.1.3对一切x恒成立，则方程1.1有一特解y1=erx,此时要想求出方程1.1的通解，还需要找出另一个特解y2，且y1，y2是线性无关的。联想到常数变易法，易想到假设y2=uxerx也是方程1.1的一特解，则y'2=u'x+