变系数常微分方程的解法探讨.doc

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1、目录1引言12一阶变系数常微分方程的解法探讨12.1变系数一阶微分方程的几个可积类型12.2应用举例43二阶变系数线性微分方程的解法探讨53.1用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解63.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索63.1.2确定的通解73.1.3用常数变易法确定的特解83.1.4应用举例83.2二阶变系数线性微分方程的积分因子解法93.2.1关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论93.2.2讨论如何求出103.2.3应用举例103.3二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法11

2、3.3.1利用自变量的变换实现常系数化113.3.2利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化123.3.3应用举例134三阶变系数线性微分方程的解法探讨144.1方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件144.2应用举例16结束语17参考文献17致谢17变系数常微分方程的解法探讨数学计算机学院数学与应用数学专业2013届余小艳摘要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法.本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三

3、阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件.又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解围.关键词：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换中图分类号：O175.1DiscussionontheSolutionofOrdinaryDifferentialEquationwithVariableCoefficientAbstract:Sofar,therehasn’tbeenanestablishedmethodonhowtosolveOrdinaryDifferentia

4、lEquation(ODE)withVariableCoefficients.ThispaperpresentssomemethodsofsolvingthesecondorderlinearODEwithvariablecoefficientsbymeansofsearchingspecialsolutionandvariabletransformation,etc.Thispaperalsogivesanintroductiontothenecessaryandsufficientcondition

5、soffirstorderlinearODEand3rdorderlinearODEwithvariablecoefficientthatcanbetranslatedintoconstantcoefficients.Moreover,wegivesomeexamplestoillustratethefeasibilityofthesemethods.Hence,theresultseffectivelyextendthesolvableforthevariablecoefficientdifferen

6、tialequations.Keywords:variablecoefficientsordinarydifferentialequations；secondorderdifferentialequationswithvariablecoefficients；generalsolutions；variabletransformation变系数常微分方程的解法探讨1引言常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科,并且在求解问题,模型,指导实践中有着极为广泛的应用.二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中

7、一类常见的方程，但迄今为止，二阶变系数常微分方程的通解问题在数学领域并没有解决.变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，因此，研究变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的理论意义和应用价值.众所周知，变系数一阶微分方程具有一般的解法，由于在理论研究和实际应用中出现有大量的二阶及三阶以上的高阶变系数线性微分方程，因此，近年来数学领域对高阶变系数线性微分方程求解方程的研究，并取得了一些成果.本文在总结变系数一阶常微分方程解法的同时，着重就二阶及三阶变系数线性微分方程的求法进行了探讨，最后又给

8、出了这些解法的应用及推广.2一阶变系数常微分方程的解法探讨2.1变系数一阶微分方程的几个可积类型对于一阶常微分方程我们常用解法有：分离变量法，变量替换法，积分因子法，常数变易法等.在此，主要讨论变系数一阶微分方程的几个可积类型.为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数一阶微分方程的标准形式为：(2.1)定理2.1[2]设.如果等式(2.2)在I上成立（k为常数），则方程(2.3)是可积的.证明令,则(2.4)将（2.2），（2.4）代入（2